专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 12 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 23 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期末）已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为一边在的右侧作等边△ADE． (1)如图①，点D在线段上移动时，直接写出和的大小关系； (2)如图②③，点D在线段（或）的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．则以下结论：①；②；③；④．正确的有 ．    2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图1，已知．以为边向形外作等边三角形，连接．    (1)求证：； (2)如图2，若，点H为的中点，连接，请直接写出与全等的所有三角形． 3.（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 4．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，向外作和等边，连接．    (1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ (2)如图2，当是直角三角形（）时，若，． 求证：． 5．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点． (1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 　　． (2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明． (3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．    【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．    (1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________． (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________． 【变式训练】 1．（2023春·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图：已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，（点不与，重合），给出以下五个结论中正确的有（　　） ①；②；③是等腰直角三角形；④    ⑤； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，点是直线上的一动点（点不与点重合），连接．    (1)在图1中，当点在边上时，求证：； (2)在图2中，当点在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点在边的反向延长线上时，求出之问存在的数共关系及直线与直线的位置关系． 4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接． (1)观察发现：图1中的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论； (3)拓展延伸：将图1中的绕点顺时针转动任意角度（转动角度在到之间），再连接的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，F为中点，分别以、为底边向外作等腰三角形和等腰三角形，记，． (1)若，如图，求证：，； (2)当，不等于时，若， ①在图中补全图形； ②试判断，的数量关系，并证明． 【变式训练】 1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、