天津市南开中学2024届高三上学期统练2数学试题

南开中学2024届高三统练2数学学科 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 当时，，则a的取值范围是 A. (0，) B. (，1) C. (1，) D. (，2) 6. 对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求．其关键是利用对应关系．观察下表： 13 14 15 27 28 29 8192 16384 32768 134217728 268435456 536870912 已知是光在真空中速度，31536000是一年的总秒数（假设一年365天），根据表中数据，计算，则一定落在区间（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. ，当时， B. 为奇函数 C. ， D. 为偶函数 11. 在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系 A. B. C. D. 12. 若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 13. i是虚数单位，则复数______. 14. 展开式中第三项系数为________（用具体数字作答）． 15. 函数的单调递减区间是______. 16. 已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________. 17. 已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______. 18. 已知函数. 设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是___. 三、解答题（共60分） 19. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）求点到PD的距离. 20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 21. 已知函数． （1）当时，求的极值． （2）讨论的单调性； （3）若，证明：． 22. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 南开中学2024届高三统练2数学学科 一、选择题（每小题5分，共60分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 【11题答案】 【答案】B 【12题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题5分，共30分） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】7 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 三、解答题（共60分） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【22题答案】 【答案】（I）；（II）证明见解析；（III） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$