THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题

中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试 数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，且公比，若，则公比（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 已知向量，线段的中点为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 比较，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. 剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变 B. C. 剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数区间上单调递增 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的值域为 D. 方程最多有8个根，且这些根之和为 12. 已知椭圆：的中心为，，是上的两个不同的点且满足，则（ ） A. 点在直线上投影的轨迹为圆 B. 的平分线交于点，的最小值为 C. 面积的最小值为 D. 中，边上中线长最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则______． 14. 若，则______． 15. 已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是______． 16. 已知函数，在处取到极小值，则实数______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知是各项均为正数的数列，设，若数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是上的一点，且，求的最小值． 19. 某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有、、三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得分，否则得分；乙类问题中每个问题回答正确得分，否则得分．已知员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为． （1）求人得分之和为分的概率； （2）设随机变量为人中得分为的人数，求随机变量的数学期望． 20. 已知四棱锥中，底面是矩形，，，是中点． （1）证明：； （2）若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求． 21. 已知椭圆左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足． （1）求椭圆的方程； （2）设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围． 22. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当时，不等式恒成立． 中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试 数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的