3.1.1 椭圆的标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第3章 圆锥曲线与方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆的标准方程 课程内容标准 学科素养凝练 1经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的 通过椭圆定义、标准方程的学习，达 定义 成数学抽象、直观想象、逻辑推理以 2.掌握椭圆的标准方程。 及数学运算的核心素养。 3掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程。 课前预习案 自主学习必备知识积累 [对应学生用书Ps] 一、椭圆的定义 1.椭圆的定义 定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数（大于FF2)的点的轨迹叫作椭圆 焦点 两个定点F,F2叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点之间的距离F,F2叫作焦距 2.椭圆的定义中，当2a=FF2时动点的轨迹是线段FE;当2a<FP2时动点的轨迹 是不存在的.只有2a>FF2时动点的轨迹是椭圆， 二、椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0 y2a2+x2b2=1(a>b>0 焦点 F(-c,0),F2(c,0) F0,-c,F20,c 焦距 FF=2c a,b,c的关系 c2=a2-b3 独家授权侵权必究◆ 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 自学检测 1,判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”， (1)平面内与两个定点F,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.() (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PFE2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距).() (3)y2a2十x2b2=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.() (4)方程2十y2=1(0m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.() (⑤)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，且a2 b2+c2() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)V 2.“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的 () A,必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 3.椭圆x29十y22=1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为 () A.1 B.6 C.4 D.10 答案：A 4.焦点坐标为0，一4)，(0,4)，且长半轴a=6的椭圆方程为 答案：x220+y236=1 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P6] 探究一求椭圆的标准方程 例)根据下列条件，求出椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，一5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26： ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)经过点P(1,32),两焦点间的距离为2，焦点在x轴上. 解：(1)，椭圆的焦点在y轴上， ∴.设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0) ,2a=26,.a=13.又c=5,∴.b2=a2-c2=144 ∴.所求椭圆方程为y2169十x2144=1 (2)方法一设椭圆的标准方程为x2a2十y2b2=1(心b>0) .焦点在x轴上，2c=2,.a2=b2+1 又椭圆经过点P1,32),.1b2+1+94b2=1,解得b2=3 .a2=4 .椭圆的标准方程为x24十y23=1. 方法二，焦距为2，焦点在x轴上， ∴.焦点坐标为（一1,0），(1,0).又点P(1,32)在椭圆上， .2a=32)2+32)2=4, ∴.a=2,b2=a2-c2=3, ∴.椭圆的标准方程为x24十y23=1 [方法总结] 1.利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)定位，确定焦点在哪条轴上： (2)定量，依据条件及a2=b2+c2确定a,b的值： (3)写出标准方程. 2.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为x2m+y2m=1(m>0,n ≥0，m≠m再根据条件确定m,n的值 3.当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为A2+By2=1(4>0,B>0,A≠B)将点的坐标代 入解方程组求得系数A,B [训练1]求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点： (2)焦点分别为0，一2)，(0,2)，经过点(4,32)： (3)经过(2，一2)，(-1,1402)两点 解：(1)设椭圆方程为2+y2=1(m>0,n>0,m≠n). ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为椭圆过(2,0)和