2.2.4 直线的方向向量与法向量（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.24直线的方向向量与法向量 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解直线的方向向量并能熟练应用。 通过直线的方向向量和法向量的学习与应 2.理解直线的法向量并能利用直线的方向向 用，进一步加强数学抽象、直观想象、逻辑 量和法向量求直线的方程. 推理、数学运算的核心素养。 课前预习案 自主学习必备知识积累 [对应学生用书P] 一、直线的方向向量 1.与直线1平行的非零向量都称为1的方向向量。 2.斜率为k的直线的方向向量为1，的非零实数倍 3.直线Ax十By十C=0(A,B不同时为O)的一个方向向量为(B,一A) 二、直线的法向量 1.与直线1垂直的非零向量n=(4,B)称为直线1的法向量， 2.直线Ax十By十C=0(A,B不同时为0)的一个法向量为(A,B). 3.过点xo,0),且法向量为A,B)的直线的方程为A一)十By一yo)=0 自学检测 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×” (1)直线2x一y十1=0的一个方向向量为=(2，一1).() (2)经过两点(1,0)和(1，一2)的直线的全体方向向量为=入(0，一2>0).() (3)直线3x-2y+1=0的一个法向量为0=(3，一2).()》 (4)垂直于向量=(3，一5)的一个向量是n=(一3，一5).() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 2.(多选题)已知直线1的倾斜角为2π3，则直线1的一个法向量为() A,(1,-3) B.(1,3) C.(3,1) D.(-3,-1) 答案：CD 3.(多选趣)直线1经过点A(2,2)和B(4,5),则直线1的一个方向向量为() A.(4,⑥ B.(-4,6 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.(4,-) D.(-4,-6O 答案：AD 4.垂直于向量（一2,5），并且经过点A(4,6的直线的方程为 答案：2x-5y十22=0 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P] 探究一求直线的方向向量和法向量 例工写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量： (1)x+1)-20-4)=0; (2)-c-3)+40y+2)=0 解：)直线(x+1)一2y-4)=0经过点（一1,4），一个法向量是(1，一2)，一个方向向量 是(-2，-1) (2)直线-心一3)十40十2)=0经过点(3，一2)，一个法向量是（一1,4），一个方向向量是 (4,1) [方法技巧]求直线的方向向量和法向量有如下途径 (1)由一般式方程Ax+y十C=0得直线的方向向量为(B,一A),法向量为(A,B): (②)由直线的斜率k得直线的方向向量为(1，)，法向量为k,一1)： (3)把所给直线方程化为Ac一xo)+B0一yo)=0,可得直线过点，%)，法向量为(4，B), 方向向量为B,一A) [训练1]己知直线：x一2y一2=0的方向向量可以是( A.(1,-2) B.(1,2) C.(-2,1) D.(2,1) D解析：方法一因为x一2y-2=0,可化为y=12x一1，所以直线1的斜率为12， 所以直线1所有的方向向量为1,12)，其中1是不为零的任意实数， 又(2,1)=2(1,12)，所以(2,1)是直线1的一个方向向量.故选D 方法三由Ax十By十C=0的一个方向向量为B,一A), 可知直线x一2y一2=0的一个方向向量为（一2，一1）， 又(2,1)=一（一2，一1），所以(2,1)是直线1的一个方向向量，故选D. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 探究二利用直线的方向向量和法向量求直线方程 例2写出满足下列条件的直线的方程： (1)垂直于向量(4,5)并且经过点A(4,2): (2)经过点A(3,1)和B(6,3) 解：(1)方法一设点x,)为直线上不同于点A的任意一点，直线的方向向量x一4，y一2) 垂直于向量(4,5)，则有(4,5)c-4,y一2)=4x-4)+50y一2)=0 整理得一般式方程4x+5y-26=0 方法二由条件可知向量(4,5)为所求直线的法向量，故可设直线的一般式方程为4 +5y+C=0 将点A(4,2)的坐标代入上述方程，得：4×4+5×2+C=0,解得C=一26 因此直线方程为4x+5y-26=0, (2)由已知条件可知直线的方向向量=(6-3,3-1)=(3,2).又2×3十(-3)×2=0， 可知直线的法向量为n=(2,一3)， 因此，可设直线的一般式方程为2x一3y十C=0, 将点A(3,1)