1.4 数学归纳法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 “1.4数学归纳法 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解数学归纳法的原理. 在学习数学归纳法的过程中，达成数学抽象、 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命 逻辑推理的核心素养 题 课前预习案 自主学习必备知识积累 [对应学生用书P36] 数学归纳法 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下而两个步骤： 1.(莫基)证明：n=na(mo∈N+)时，命题成立： 2.(递推)假设n=k∈N+,k≥)时命题成立，证明n=k十1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立 这种证明方法叫作数学归纳法. 自学检测 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×” (I)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.() (②)数学归纳法的第一步的初始值一定为1.() (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.() 答案：(1)×(2)×(3)√ 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12(n一3)条时，第一步检验n等于() A.1 B.2 C.3D.4 答案：C 3.如果命趣)对所有正偶数n都成立，那么用数学归纳法证明时应先证n= 成立 答案：2 4.已知n)=1+12+13+…+1nn∈N+),计算得2)=32,4)>2,8)>52，f (16>3,32)>72,由此推测，当>2时，有 答案：f2)>n十22 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P3小 探究一用数学归纳法证明等式 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [知能解读]数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键 数学归纳法的实质是递推，分析从n=k到=k十1的过程中，式子项数的变化，关键 是弄清等式两边的构成规律，即从n=k到n=k十1，等式的两边会增加多少项、增加怎样 的项 (3)利用假设是核心 在第二步证明n=k十1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“=k时命题成 立”作为条件.在书写+I)时，一定要把包含的的式子写出来，尤其是中的最后一 项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法， 例①用数学归纳法证明：1×4十2×7+3×10+…十n3n十1)=n+1)2(其中n∈N+)】 证明：当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，左边=右边，等式成立. 假设当n=k∈N+)时等式成立，即1×4十2×7+3×10十+3k十1)=k+1)2成立. 那么，当n=k十1时， 1×4+2×7+3×10+…+3k+1)+(k+1)[3k+1)+1] =kk+1)2+(k+1)[3k+1)+1] =(k+1)2+4k+4)=(k+1)[k+1)+1]2, 即当n=k十1时等式也成立 综上，可知等式对任何n∈N+都成立， [方法总结]用数学归纳法证明等式的方法 看等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 项的多少与n的取值是否有关，从n=k到n=k+1, 等式两边会增加多少项 :将m=k+1时的式子转化成与归纳假设的： 一凑似设一结构相同的形式 凑结构然后利用归纳假设，经过恒等变形，得 :到结论所需的形式 [训练1]用数学归纳法证明：121×3+223×5+…+n2(2n-1)(2m十1)=n(n+1) 2(2n+1)(n∈N+) 证明：(1)当n=1时，121×3=1×22×3成立. (2)假设当n=kn∈N+)时等式成立，即有121×3+223×5+…+k2(2k-1)(2k十1)= k(k+1)2(2k+1), 则当n=k+1时，121×3+223×5+…+k2(2k-1)(2k+1)+(k+1)2(2k+1)(2k +3)=k(k+1)2(2k+1)+(k+1)2(2k+1)(2k+3)=(k十1)(k+2)2(2k+3), ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.Com○ 您身边的互联网+教辅专家 即当n=k十1时等式也成立. 由(I)和(2)可得对于任意的n∈N+等式都成立. 探究二归纳—猜想—证明 [知能解读]“归纳猜想一证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和. (②)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题n=1,2,3,),猜想并证明对任意正整数n都成立的一殷性 命题 例2已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=一23，且S十1S1+2=a(n≥2) (1)计算S,S2,S3,S的值，猜想Sn的表达式： (