1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时等差数列前n项和的性质及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.在利用等差数列前n项和性质解决有关问 1.能在具体的问遐情境中，发现数列的等差 题的过程中，培养逻辑推理和数学抽象的核 关系，并能解决相应的问题 心素养。 2.理解等差数列前n项和的性质，会求等差 2,在求等差数列前n项和最值过程中，达成 数列前n项和的最值。 逻辑推理和数学运算的核心素养， 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P1] 探究一与等差数列前n项和有关的性质问题 [知能解读]与等差数列前n项和有关的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和.则数列小fSm)也是等差数列， 且公差为d2 (2)若Sm,S2,S分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm,S2m一Sm, Sm一S2m也成等差数列，公差为m2d (3)设两个等差数列{a},{bn}的前n项和分别为Sa,Tm,则ambn=S2n一1T2n一1 (4)若等差数列{an}的项数为2n,则S2m=n(an十a+1),S得一S奇=nd,S偶S奇=an十1am (5)若等差数列{an}的项数为2n十1，则Sm+1=(21十1)a4+1,S一S奇=一a+1,S偶S 奇=mm+1 例1①(1)等差数列前n项的和为30，前21项的和为100，则它的前3n项的和为( A.130 B.170C.210D.260 C解析：利用等差数列的性质：Sn,Sm一Sm,Sn一Sm成等差数列，可得Sn十(Sn一S) =2(S2m-Sn),即30+(S3n-100)=2100-30),解得Sm=210 (2)等差数列a}共有2m十1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120， 则n等于 10解析：因为等差数列共有2n十1项，所以S奇一Sm=an+1=S2n十12n十1，即132-120 =132+1202n+1,解得n=10 (3)等差数列{a}与{bn}的前n项和分别是Sn和T,已知SnTn=7n十3，则a5b5= 214解析：a5b5=a1+a92b1十b92=S9T9=7×99十3=214 [变式]将本例(3)条件变为“ambn=(2n+1):(3n-2)”，则S9T9= 1113解析：，{an},bn}均为等差数列， 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 .S9T9=9a59b5=2×5+13×5-2=1113 [方法总结]等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn=n(a1十am)2,设法求出整体a1十an,再代入求解 (2)待定系数法：利用S是关于n的二次函数，设S=An2十Bm(4≠0)，列出方程组求出 A,B即可，或利用Sm是关于n的一次函数，设Sm=am十b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn,Sn一S,Sm一S成等差数列进行求解. [训练1]等差数列{an}的通项公式是a,=2n+1,其前n项和为S,则数列fSm)的前 10项和为 75解析：因为an=2n+1,所以a1=3.所以Sn=n(3+2m十1)2=n2+2m.所以Sm=n +2.所以fSm是公差为1、首项为3的等差数列.所以fSm)的前10项和为3×10+10× 92×1=75 探究二等差数列前n项和的最值问题 [知能解读】 1.等差数列前n项和公式的函数特征 Sn=na1十n(n-1)2d=12dm2+(a一12dm,当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且 不含常数项，即Sn=A2+Bn(A≠0)： 当d=0时，S。=na,S.是关于n的一次函数。 2.等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0,d心0，则数列的前面若干项为负数项（或0），将这些项相加即得Sn的最小值， (②)若a>0,d水0，则数列的前面若干项为正数项（或0），将这些项相加即得Sn的最大值 特别地，若a10,d0,则S是{S}的最小值：若a10,0,则S是{Sn}的最大值 例2在等差数列{am}中，a。=18,前5项的和S=一15 (I)求数列{a}的通项公式： (2)求数列{a}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值， 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求数列通项公式及前n项和的最小值问题。 第二步，精读题目挖已知条件：{am}是等差数列，且已知第10项及前5项和. 第三步，建立联系寻解题思路：()利用通项公式及其前n项和公式建立方程组求解：(2) 可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等 差数列的增减性求解. 第四步，书写过程养规范习惯。 解：(1)设等差数列{an}的公差