3.5 圆锥曲线的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.5圆锥曲线的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1掌握圆锥曲线的相关性质.理解圆锥曲线在天 通过利用圆锥曲线的有关性质解决实际问 体运动、抛物线的轨迹及光学性质中的应用。 题，达成数学建模、直观想象、逻辑推理、 2.能利用圆锥曲线的有关性质解决实际问题 数学运算的核心素养. 课堂探究案 师生共研关健能力发展⑨ [对应学生用书P1s] 探究一天体运动的轨道 例①我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里） 的中心F为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）4 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离 为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为b百 公里时进行变轨，其中α，b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面 的距离（精确到1百公里） 解：设所求轨道方程为x2a2十y2b2=1(a>b>0), c=a2-b2.因为a+c=800+34,a-c=8+34, 所以a=438,c=396, 于是b2=a2-c2=35028 所以所求轨道方程为x2191844+y235028=1. 设变轨时，探测器位于Pxa,o,则 22 x0+0=ab≈81975.1,0x191844+0y35028=1, 解得x≈239.7，%≈156.7（由题意x0,y00) 所以探测器在变轨时与火星表面的距离为0(x0一c)2+y一R≈187 所以探测器在变轨时与火星表而的距离约为187百公里. [方法总结]解答与椭圆相关的应用问题，将事物的实际含义向椭圆的几何性质转化是 关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题 *独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [训练1]有一幅椭圆形彗星轨道图，长4cm,高23cm.如 图所示，已知O为椭圆中心，A1,A2是椭圆长轴的两端点，太 23 阳位于椭圆的左焦点F处，试建立恰当的坐标系，求出椭圆方 4 程，并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0) ↑y 依题意有2a=4,2b=23,所以a=2,b=3,c=1, 故椭圆方程为x24十y23=1,F(一1,0)， 将x=一1代入椭圆方程得y=±32， 即彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离为1.5cm 探究二与抛物线相关的应用问题 [知能解读]以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主 要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程：(2)利用已知方程求点的坐标 例2某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m.一木船宽4m, 高2m,载货的木船露在水面上的部分为0.75m,当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开 始不能通航？ 解：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴，建立平 面直角坐标系（如图 0 设抛物线的方程是x2=一2p>0), B 由题意知点A(4,一5)在抛物线上， 故16=-2p×(-5)Pp=85, 则抛物线的方程是x2=一165y(一4≤x≤4) 当水面上涨，木船两侧与抛物线形拱桥接触于点B,B′时，木船开始不能通航，设B (2,y‘),则22=一165y→y'=一54.又木船露在水面上的部分为34m, 所以当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2时，木船开始不能通航， [方法总结]解决抛物线的实际应用问题时，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的 关，，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得曲线过 原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.其基本步骤： (1)建：建立适当的坐标系。 (2)设：设出合适的抛物线标准方程. 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (③)算：通过计算求出抛物线的标准方程. (4)求：求出需要求出的量， (⑤)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题 [训练2]探照灯反射镜（如图）的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处. 己知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标. 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系， 使探照灯的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直 径 设抛物线的标准方程为y2=2p>0) 由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入 方程，得302=2p40,解得p=454