3.4 曲线与方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.4曲线与方程 课程内容标准 学科素养凝练 L了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应 1通过对曲线与方程的概念的学习，培 关系 养学生的数学抽象的核心素养 2理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。 2,借助曲线方程的求法，培养学生的逻 3通过具体的实例学握求曲线方程的一般步骤，会求 辑推理素养及直观想象的核心素养。 曲线的方程. 课前预习案 自主学习必备知识积累⑧ [对应学生用书P1] 一、曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的 点与一个二元方程，)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解， (②)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线， 二、坐标法思想 确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质，我们称这种研究几 何的方法为坐标法.基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何 的核心思想。 三、求曲线的方程的步骤 1.建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对，y)表示曲线上一点M的坐标； 2.写出满足条件p的点M的集合P={MpM0}: 3.用坐标，)表示条件pM0,列出方程x,)=0: 4.化方程x,)=0为最简形式： 5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 自学检测 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”， 如果曲线1上的点的坐标满足方程Fx,)=O,则 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)曲线1的方程是F(,y)=0.() (2)方程Fx,)=0的曲线是1.() (3)坐标不满足方程F,)=0的点不在曲线1上.() (4)坐标满足方程Fx,)=0的点在曲线1上.() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 2.“点M在曲线y=上”是“点M到两坐标轴距离相等”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分又不必要条件 答案：A 3.方程x2十y2=10表示的曲线是() 答案：D 4.在平面直角坐标系xO中，若定点A(-1,2)与动点Px,y)满足.=3，则点P 的轨迹方程为 答案：x-2y十3=0 课堂探究案 师生共研关键能力发展⊙ [对应学生用书P] 探究一曲线与方程的概念 例工()命题“曲线C上的点的坐标都是方程x,y)=0的解”是真命愿，下列命题中 正确的是() A.方程x,y)=0表示的曲线是C ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B.方程x,y)=0表示的曲线不一定是C C.x,y)=0是曲线C的方程 D.以方程x,)=0的解为坐标的点都在曲线C上 (2)已知方程x2+y一12=10 ①判断点P(1,一2)，Q2,3)是否在此方程表示的曲线上： ②若点M(m2,一m)在此方程表示的曲线上，求出m的值. (1)B解析：“曲线C上的点的坐标都是方程，y)=0的解”但“以方程x,y)=0 的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A,C,D都不正确. (2)解：①因为12+(-2-1)2=10，(2)2+(3-1)2≠10 所以点P(1,一2)在方程2+y一1)2=10表示的曲线上，点Q(2,3)不在方程x2+y一 1)2=10表示的曲线上. ②若点M(m2,一m)在方程x2+(y-1D2=10所表示的曲线上，则(m2)2+(-m一1)2=10， 解得m=2或m=-185 [方法总结]判定曲线和方程对应关系的两个关注点 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性： (②)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性。 [注意]只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。 [训练1】分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点4(2,0)且平行于y轴的直线与方程x=2之间的关系： (②)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程y=5之间的关系： (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x十y=0之间的关系。 解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程x=2的解，但以方程 =2的解为坐标的点不都在过点A(2,O)且平行于y轴的直线上，因此x=2不是过点A(2, 0)平行于y轴的直线的方程. (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程y=5,但以方程y=5的 解为坐标的点与两坐标轴的距离之积