3.2.2 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.2.2双曲线的简单几何性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解双曲线的简单几何性质， 通过双曲线的简单几何性质的运用.提升直观 2理解双曲线的渐近线及离心率的意义 想象、逻辑推理、数学运算的核心素养 3.会判断直线与双曲线的位置关系， 课前预习案 自主学习必备知识积累 [对应学生用书P1o1] 一、双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在X轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2a2-y2b2=1(a>0.b>0) y2a2-x2b2=1(a>0.b>0) 图形 范围 X≤-a或x2a ys-a或yea 对称性 对称轴：X轴、y轴。对称中心（双曲线的中心）：(0.0) 顶点 A1-a,0,Az(a,0 A(0,-a山，A2(0.a 实轴长|A1A2|=2a.虚轴长B1B2|=2b(a和b分别表示双曲线的实半轴 轴长 长和虚半轴长) 焦点 F(-c.0).F2(c.0) F(0.-c.F0.c) 二、双曲线的渐近线 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0.b>0)在无限延伸的过程中无限接近两条直线y=±bax. 这两条直线称为双曲线的渐近线.同样.双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方 程为y=±abx. 三、双曲线的离心率 1,定义：双曲线的半焦距与实半轴长的比e=ca叫作双曲线的离心率 2.性质：e越大.ba越大，即渐近线y=±baX的斜率的绝对值越大，说明双曲线的 开口越大 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 四、等轴双曲线 1.等轴双曲线的定义：实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线， 2.等轴双曲线具有以下性质： (1)方程形式为x2-y2=(入≠0)： (2)渐近线方程为y=±x,它们互相垂直.并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角： (3实轴长和虚轴长都等干2a.离心率e=2. 。自学检测 1.判断下列说法是否正确.正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×” (1)双曲线方程x2m2-y2n2=λ(m>0.n>0.入≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2 =0.即xm±yn=0.() (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直.离心率等干2.() (3)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0.b>0)与x2b2-y2a2=1(a>0.b>0)的离心率 22 分别是e1,e2,则11e+21e=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).() (4)渐近线的斜率k与双曲线的离心率e的关系是k=±e2+1.() (5)直线/与双曲线C相切的充要条件是：直线/与双曲线C只有一个公共点.() 答案：(1W(2W(3W(4)×(5)× 2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是() A.2 B.22 C.4D.42 答案：C 3.双曲线y2-4x2=16的渐近线方程为( A.x4±y=0 B.2x±y=0 C.x2±y=0 D.4X±y=0 答案：B 4.已知双曲线x21-m-y2m-5=1的离心率为2.则m的值为」 答案：4 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P1o2] 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 探究一利用几何性质求双曲线的标准方程 例1①(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F.点A在双曲线的渐 近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点).则双曲线的方程为() A.X24-y212=1 B.x212-y24=1 C.x23-y2=1 D.x2-y23=1 (2)渐近线方程为y=±12X,且经过点A(2,-3)的双曲线方程为 (1)D(2)y28-x232=1解析：(1)不妨设点A在第一象限.由题意可知c=2,点A 的坐标为(1,3).所以ba=3.又c2=a2+b2,所以a2=1.b2=3,故所求双曲线的方程 为x2-y23=1. (2)方法一因为双曲线的渐近线方程为y=±12X, 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).则ba=12.① 因为点A(2,一3)在双曲线上，所以4a2-9b2=1.② 联立①②，无解 若焦点在y轴上.设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0.b>0),则ab= 12.③ 因为点A(2,-3)在双曲线上， 所以9a2-4b2=1.④ 联立③④，解得a2=8.b2=32 故所求双曲线的标准方程为y28-×232=1, 方法二由双曲线的渐近线方程为y=±12x,可设双曲线的方程为X222-y2=(入≠ 0) 因为点A(2,-3)在双曲线上，所以