单元素养强化(一)数列（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

单元素养强化(一)　数　列

[对应学生用书P251]

1．已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)

A．32　 　B．27　 　C．24　 　D．16

C　解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a6＝8，

∴2a1＋7d＝8.

∴5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.

2．已知正数组成的等比数列{an}，若a1·a20＝100，则a7＋a14的最小值为(　　)

A．20    B．25    C．50     D．不存在

A　解析：∵(a7＋a14)2＝a＋a＋2a7·a14≥4a7a14＝4a1a20＝400，

∴a7＋a14≥20.

即a7＋a14的最小值为20.

3．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格降为(　　)

A．900元     B．1 800元

C．2 400元     D．3 600元

C　解析：把每次降价看作一个等比数列，首项为a1，公比为1－＝，求a4，则a4＝8 100×()3＝2 400.

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝6，则S7＝(　　)

A．7    B．14    C．21     D．42

B　解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＋a6＝6，∴a2＋a4＋a6＝3a4＝6，解得a4＝2.∴S7＝(a1＋a7)＝7a4＝14.

5．(多选题)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则下列说法错误的是(　　)

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

ACD　解析：由题意，当数列为－2，－4，－8，…时，满足q>0，但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．

6．(多选题)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(＋1)2－2，则关于数列{an}的说法正确的是(　　)

A．a2＝5

B．数列{an}为递增数列

C．an＝n2＋2n－1

D．数列{an}为周期数列

BC　解析：由an＋1＝(＋1)2－2，得an＋1＋2＝(＋1)2，即＝＋1，又a1＝2，所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝n2＋2n－1，所以a2＝7，故A错误，C正确；

an＝(n＋1)2－2，所以{an}为递增数列，故B正确；数列{an}不具有周期性，故D错误．

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝cos (nπ)(n∈N＋)，则S2 024＝________．

0　解析：由an＝cos (nπ)得an＋2＝cos (nπ＋2π)＝cos (nπ)＝an，所以数列{an}以2为周期，

又a1＝cos π＝－1，a2＝cos 2π＝1，所以S2 024＝1 012×(a1＋a2)＝0.

8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝(－1)n，则数列{an}的通项公式为________．

an＝(－1)n＋1(n＋1)　解析：因为an＋an＋1＝(－1)n，所以an＋1＋an＋2＝(－1)n＋1，得an＋2－an＝－2·(－1)n.

所以当n为奇数时，an＋2－an＝2，当n为偶数时，an＋2－an＝－2.

又a1＝2，an＋an＋1＝(－1)n，所以a2＝－3，

所以a1，a3，a5，…，a2k－1，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，

a2，a4，a6，…，a2k，…构成以－3为首项，－2为公差的等差数列．

所以当n是奇数时，an＝2＋2(－1)＝n＋1；