3.2.2 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后巩固》 [对应学生用书P] A级基础巩固练 1.已知双曲线2+2=1的一条渐近线方程为2x+y=0,则m的值为() A.-14 B.-1 C.-2 D.-4 D解析：因为m0,所以双曲线mr2+y2=1的渐近线方程为y=±一， 依题意可得一m=2,解得m=一4 2.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则 双曲线C的焦距等于() A.2B.22C.4 D.42 C解析：由己知得e=ca=2,所以a=12c,故b=c2-a2=3)2c,从而双曲线的渐近 线方程为y=±ba=±3x,由焦点到渐近线的距离为3，得3)2c=3,解得c=2,故2c=4 3.点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为() A.95 B.85 C.65 D.45 A解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x216一y29=0,即3±4y=0, 结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离d=9+09十16)=5. 4.(多选题)我们把离心率为e=5)+12的双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图所示，A1,A2是双曲线的实轴顶点，B, B2是虚轴顶点，F,F2是焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交双曲 线于M,N两点，则下列命题正确的是() A.双曲线x2-y2r(5)十1=1是黄金双曲线 B.若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线 C.若∠FB42=90°，则该双曲线是黄金双曲线 D.若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线 BCD解析：A选项，e=1+r5)+1=5)十2≠5)+12，不是黄金双曲线： B选项，b2=ac=c2-a2,化成c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又e>1,解得e=5)十12，是黄金双曲线： C选项，，∠F1B42=90°， .B1F2+B422=FA22, ∴.b2+c2+b2+a2=(a+c2, 化简得c2-ac-a2=0,由B选项知是黄金双曲线： D选顶，∠MON=90°，MN⊥x轴， ∴.MF=b2a,且△MOF2是等腰直角三角形， ∴，c=b2a,即b2=ac,由B选项知是黄金双曲线. 综上，B,C,D是黄金双曲线. 5.已知双曲线C1:x24一y23=1的一条渐近线与双曲线C2的一条渐近线垂直，则双曲 线C2的离心率为) A.7j2 B.21)3 C.21)3或72 D.74或73 C解析：双曲线C1的渐近线方程为2土y3)=0,故双曲线C2的渐近线方程为x (3)±y2=0 设双曲线C2的方程为x231-y241=1(t≠0).当D0时，双曲线C2的方程为x231一y241=1, 则e2=3t+4t3t,解得e=21)3;当10时，双曲线C2的方程为y2-41-x2-3t=1,则e2= -3t-4t-4t,解得e=)2 6.(2022全国甲卷（理）)若双曲线y2一x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2一4y+3=0相 切，则m= 3)3解析：双曲线y2-x2m2=1(m>0)的渐近线为y=士xm,即x士m=0, 不妨取x+y=0,圆x2+y2-4y+3=0,即x2+0y-2)2=1,所以圆心为(0,2)，半径 r=1, 依题意圆心0,2)到渐近线x十y=0的距离d=2ml1十m2=1, 解得m=3)3或m=一3)3（舍去） 7.斜率存在的直线1上有一点(0，一1)且与双曲线C:24-x2=1有且只有一个公共点， 则直线1斜率为 ±3或±2解析：由题意，设直线1的方程为y=你一1，代入双曲线方程化简可得(2一4) x2-2kx-3=0. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当2一4=0，即k=±2时，(2-4)x2一2-3=0只有一个解，满足直线1与双曲线有 且只有一个公共点：当≠土2时，令4=4+12(2一4)=0，解得k=士3，此时方程有两个 相等实数根，满足直线1与双曲线有且只有一个公共点.所以k=±2或k=土3 8.已知F,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，且双曲线C 的实轴长为6，离心率为53 (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点P是双曲线C上任意一点，且PF=10,求PF 解：(1)由题意知，2a=6,ca=53,解得a=3,c=5,故b2=c2-a2=16 所以双曲线C的标准方程为x29一y216=1 (2)①若点P在双曲线的左支上，则 PF2