湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期开学验收考试数学试题

2023秋高二上九月开学验收考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设是两个不共线的向量，且与共线，则实数λ＝（ ） A. －1 B. 3 C. D. 2. 若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是，那么至少有一人解决这道题的概率是（ ） A. B. C D. 4. 已知向量满足，，且，则与的夹角的余弦值为 A. B. C. D. 5. 若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 6. 在四棱锥中，底面ABCD正方形，E为PD中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：其中与算同一种方法，在大于且不超过的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列条件中，使点与三点一定共面的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A 如果，那么 B. 如果A与互斥，那么 C. 如果A与相互独立，那么 D 如果A与相互独立，那么 11. 如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，下列运算结果，正确的有（ ） A. B. C. D. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，是两个不共线的向量.若 ，， 则，， 共面 B. 若向量，则， 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 若，，则与向量 共线的一个单位向量为 D. 在三棱锥中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面是锐角三角形 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知一个样本容量为7样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是______. 14. 已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为________. 15. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989 据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为____. 16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． （1）试用，，表示出向量； （2）求与所成的角的余弦值． 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 20. 已知向量=(1，1，0)，=. （1）若()∥()，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的范围. 21. 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示． （1）求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）； （2）根据频率分布直方图估计复赛