福建省宁德第一中学2023-2024学年高二上学期9月第二次考试数学试题

宁德一中2023-2024学年高二（上）9月第二次考试 数学试题 （考试时间：90分钟 满分：100分） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题5分，共30分） 1．记为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 4．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．数列：，，，，…，，…的前n项和＝（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，则数列的前2017项和（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题5分，漏选得2分，共15分） 7．等差数列的公差为，前项和为；等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列，公比为 B．是等差数列，公差为 C．若，则，，成等差数列，公差是 D．若，则，，成等比数列，公比是 8. 直线，下列图象中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 10．记为数列的前项和，且，则 . 11．已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为 . 12．设数列中，且满足，则 . 四、解答题（40） 13．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，，成等比数列，求数列的前10项和. 14．已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4. (1)若直线的斜率为2，求实数的值； (2)若直线分别与轴、轴的正半轴分别交于两点，是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程. 15．总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，年投入万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． 参考数据：，， 16．已知正项数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，若恒成立，求实数λ的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．A 【分析】由已知可得，结合的表达式可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， 则. 故选：A. 2．D 【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可. 【详解】解法一  当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，所以， 解得，此时直线方程为. 故选： 解法二  易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意. 设直线方程为， 则时，，时，， 由题意知， 解得或，即直线方程为或. 故选： 3．C 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 则是以2为公比的等比数列， ，，解得， 所以， ． 故选：C． 4．A 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 5．A 【分析】分组求和，分别应用等差数列和等比数列求和即可. 【详解】依题意，得该数列的通项公式为， ∴ ． 故选：A． 6．C 【分析】取倒数后可得，利用累加法可得数列的通项，利用裂项相消法可求. 【详解】根据题意，有，于是， 进而， 于是，进而