三角形四心和奔驰定理 讲义-2023届高三数学一轮复习

高三数学 一轮复习 专题：三角形四心和奔驰定理 姓名：___________ 班级：___________ 熟记口诀：中重，高垂，角分内，中垂外 一、三角形的“重心” 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 例题1.（2022·河南高三月考）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（       ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 例题2.（2022·云南玉溪·高三月考）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的(　　) A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心 二、三角形的“垂心” 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 例题3.（2022·全国·专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（       ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 三、三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2） ，，则一定经过三角形的内心。 例题4.（2022·全国·高三课时练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（       ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 四、三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线(中垂线)的交点(或三角形外接圆的圆心） 外心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 例题5.(2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心 五、奔驰定理：是内的一点，且，（必须共起点且在等式同侧） 则 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 例题6.设点在内部，且，则与的面积之比为 . 例题7.设点在内部，且，则与的面积之比为 . 例题8.（2022·海南海口·二模）已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 课后练习 1. 例题（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（       ） 提示：注重和第2题对比 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2. 例题（2022·海南海口·二模）已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) 提示：注重和第1题对比 A． 重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3. （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点 4. （2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在中，，，，则直线通过的　　 A．垂心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．重心 6. （2022•济南期末）下列叙述正确的是________． ①为的重心． ②为的垂心． ③为的外心． ④为的内心． 7