2.3.1抛物线及其标准方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

2.3.1 抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 喷泉 美丽的喷泉 赵州桥 探照灯 y x o y=ax2+bx+c y=ax2+c y=ax2 思考： 抛物线是一个怎样的对称图形？ 一.抛物线的定义： 抛物线   如图,先将一把直尺固定在画板上再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线D,然后取一根细绳,它的长度与另一条直角边AC相等,细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处. 观察铅笔尖随着三角板的移动过程，可以发现，点P始终满足|PF|= |PC|(三角板的直角顶点记作B)，即点P到定点F的距离和点P到定直线l的距离相等. 一条经过点F且垂直于l 的直线 抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线. M · F l · |MF|=d 焦点 d 准线 点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线. 想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么? l · F · · · · · · 化 简 列 式 设 点 建 系 以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy. x K y O F M l · · · （x,y） 设M（x，y）是抛物线上任意一点， H 点M到l的距离为d． d 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 二. 抛物线的标准方程 （p＞0）， 化 简 列 式 设 点 建 系 两边平方,整理得 x K y O F M l · · · （x, y） H d 其中p为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离． 方程 y2 = 2px（p＞0）表示焦点在x轴正半轴上的抛物线． 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？ 抛物线的标准方程还有哪些不同形式? F M l N · · y x F M l N · · H F M l N · · O F M l N · · x H y O 抛物线的标准方程 ． 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 y2=2px(p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) F(- - - - . . . . 图形 标准方程 抛物线的四种标准方程对比 2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？ ①焦点在一次项字母对应的坐标轴上. ②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点? 左边都是平方项， 右边都是一次项. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 四种抛物线的标准方程对比 巩固提升：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 （1) （2) （3) （4) （5，0） x= -5 （0，—） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （- —，0） 5 8 （0，-2） y=2 2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （3）焦点到准线的距离是2. （1）焦点是 ； （2）准线方程是 ； 小结：已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程. 先定位，后定量 3、设抛物线 上一点P到y轴的距离是4， 则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 B 例1：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程. 解:(1)因为ｐ＝３，故抛物线的焦点坐标为 ， 准线方程为 (2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且　　　　　　　故所求抛物线的标准方程为x2=-8y. 求抛物线方程的方法：-----待定系数法 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是（0，-3）； (2)准线是 . 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. (1)y=8x2； (2)x2+8y=0. x2=-12y y2=