2.1.1等式的性质与方程的解集-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.1.1等式的性质与方程的解集 公元前六世纪，毕达哥拉斯学派从正方形数的构造中获得了特殊的平方差公式.三国时期的数学家赵爽和刘徽对其进行了证明.16世纪，法国数学家韦达用字母表示了它，其对称美开始展现在我们面前.这节课我们一起来感受一下这些等式的魅力吧. 1.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用十字相乘法分解二次三项式.（重点） 2.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集.（难点） 探究点1 等式的性质 思考1：方程怎么解？运用了什么性质？ 等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立. 你能用符号和量词表示出来吗？ （1）如果,则对任意，都有 ； （2）如果,则对任意不为零的，都有 . 思考2：若,是否能得出？ 不一定.当时，若,. 探究点2 恒等式 思考：补全下列（1）（2）中的两个公式，你能从量词的角度对下列等式进行分类吗？ （1）=____________ （平方差公式）； （2）=____________ （两数和的平方差公式）； （3）; （4）; （5）; （6）. 等式 (1)(2)(4)(6) 对任意实数都成立，而等式 (3)(5) 只是存在实数使其成立. 恒等式： 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 几个重要的恒等式： （1）; （2）(a±b)2＝a2±2ab＋b2； （3）a3±b3＝(a±b)(a2∓ab＋b2)； （4）(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.　　　　 立方和、立方差公式 思考：根据两数和的完全平方公式如何得到两数差的完全平方公式 ？ 【解析】因为对任意实数都成立.所以可用其他代数式去替换其中的，等式仍会成立,若用替换其中的，则 恒等式是进行代数变形的依据之一. 例1 化简. 【解析】方法一： 方法二： 利用完全平方公式展开，然后合并同类项 将和分别看作一个整体，然后用平方差公式变形 跟踪训练: 化简. 【解析】 思考1：是否是恒等式？请说明理由. 追问1：如何应用上述恒等式对二次三项式进行因式分解？ 是恒等式，将等号左侧展开再合并同类项即可得证. 给定式子，如果能找到和，使得且，则 1 1 十字相乘法 思考2：是否是恒等式？ 追问2：如何应用上述恒等式对二次三项式进行因式分解？ 是恒等式. 给定式子，如果能找到、、、，使得,,,则 十字相乘法 练一练： 利用十字相乘法分解因式. （1）； （2）； （3）； （4）. 1 1 2 1 1 1 探究点3 方程的解集 思考1：集合与方程是什么关系？ 集合中的元素是方程的根 定义：一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. （方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.） 思考2：的充要条件是什么？ 追问：方程的解集是什么？ 例2 求方程的解集. 【解析】因为 所以原方程可化为 所以或 解得或 所以方程的解集为{2,3} 1 跟踪训练： 求方程的解集. 【解析】因为 所以原方程可化为 所以或 解得或 所以方程的解集为{1,} 1 例3 求关于的方程的解集,其中是常数. 【解析】当时，在等式的两边同时乘以,得,此时 解集为. 当时，方程变为,这个方程无解，此时解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为. 能直接在等式两边同时除以，得到吗？ 跟踪训练： 求关于的方程的解集,其中是常数. 【解析】方程可化为. 当时，在等式的两边同时乘以,得,此时解集为. 当时，方程变为,这个方程无解，此时解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为. 恒等式 等式的性质 重要恒等式 十字相乘法 方 程 的 解 集 $$