专题24.1 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题24.1 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】一元二次方程有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次 方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点说明： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 【知识点2】一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点说明： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 【知识点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点说明： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 【知识点3】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　 　 一是整体地、系统地审题； 　 　二是把握问题中的等量关系； 　 　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点说明： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 【考点一】一元二次方程➽➼➻有关概念 【例1】已知a是一元二次方程的根．求代数式的值． 【答案】6 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得 ，再结合化简后的式子整体代入求解即可． 解： ， ∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴原式． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键． 【举一反三】 【变式1】已知． （1）化简； （2）若是一元二次方程的解，求的值． 【答案】(1)；(2)13 【分析】（1）分别计算单项式乘多项式、完全平方，然后进行加减运算即可； （2）由题意知，即，根据，计算求解即可 （1）解： ， ∴； （2）解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， ∴； ∴的值为13． 【点拨】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的根，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【分析】先根据异分母分式的加减法则，化简分式，再根据是方程的根得到，整体代入进行计算即可得到答案． 解： ， 是方程的根， ， ， 原式 ． 【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握异分母分式的加减的运算法则，以及一元二次方程的解法，整体代入法，是解题的关键． 【考点二】一元二次方程的解法 【例2】解方程： （1） (2) 【答案】(1) ，； (2) 无实数