专题13.10 全等三角形几何模型（手拉手）（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题13.10 全等三角形几何模型（手拉手）（分层练习）（培优练） 手拉手模型是最常见的一类证明全等或相似的重要数学模型，全等型手拉手模型主要有以下三个特征：双等腰、共顶点、顶角相等 . 模型一：等边三角形 △ABC 和 △CDE 均为等边三角形，点 C 为公共顶点，如图一： 结论：△ACE ≌ △BCD . 图一 图二 模型二：等腰三角形 等腰 △ABC 和等腰 △CDE，点 C 是公共顶点，∠ACB = ∠DCE = a , 如图二： 结论：△ACD ≌ △BCE . 除了以上二个模型外，还有正方形等等 一、单选题 1．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 2．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（    ）个 ①  ②连接，则平分  ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 4．在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是 ． 5．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ． 6．在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为 ． 三、解答题 7．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 8．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 9．在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明． 10．已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），以为边作正方形，连接． （1）如图①，当点在线段上时，求证． （2）如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系． （3）如图③，当点在线段的反向延长线上，且点，分别在直线的两侧时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系． 11．已知中，． （1）如图1，在中，若，且，求证：； （2）如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； （3）如图3，在中，当垂直平分于，且时，试探究，，之间的数量关系，并证明． 12．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：． （2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点． ①求证：； ②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由． 13．如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外