广西壮族自治区玉林市玉林市高三联考2024届高三上学期开学考试数学试题

南宁三中、柳州高中2024届第一次适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列的首项，是数列的前项和，设甲：“为递减数列”，乙：“”，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，现有两组新数据：第①组数据和第②组数据，则与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 第①组数据中位数不变 B. 第①组数据平均数不变或变大 C. 第②组数据极差变小 D. 第②组数据方差变小 10. 甲、乙、丙、丁4人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在甲手中的概率为，易知.下列选项正确的是（ ） A. B. 等比数列 C. D. 第4次传球后，球落在甲手中的不同传球方式有20种 11. 定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有7个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的对称轴 C. D. 12. 已知球的半径为1（单位：），该球能够整体放入下列几何体容器（容器壁厚度忽略不计）的是（ ） A. 棱长为的正方体 B. 底面边长为的正方形，高为的长方体 C. 底面边长为，高为的正三棱锥 D. 底面边长为，高为的正三棱锥 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 甲、乙、丙、丁四名同学可选择足球课、篮球课、排球课，每个人必须选一门且只能选一门，那么每门课都有人选择的不同情形有_____________种（用数学作答）. 14. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 15. 已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是___________. 16. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为____________. AI 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，. （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求. 18. 如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，. （1）求多面体的体积； （2）当点在棱上运动时（包括端点），求二面角的余弦值的绝对值的取值范围. 19. 已知函数，. （1）讨论函数单调性； （2）证明：当时，，使得. 20. 已知正项数列，其中，且. （1）设，证明：数列等比数列，并求其通项公式； （2）设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得为整数，若存在，请求出最小正整数；若不存在，请说明理由. 21. 某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产. （1）在试产初期，该款血液试剂I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率； （2）已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液