《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-1名师导学：第二章 圆锥曲线与方程（含解析）

第 2　 章 圆锥曲线与方程　　　 第1课时　圆锥曲线 　 教学过程 一、 问题情境 2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗? 二、 数学建构 椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等. 一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1. (图1) 对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2). (图2) 设M是平面与圆锥面的截线上任一点,过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q两点,则MP和MF1,MQ和MF2分别是上、下两球的切线. 因为过球外一点所作球的切线的长都相等, 所以MF1=MP,MF2=MQ, 故MF1+MF2=MP+MQ=PQ. 因为PQ=VP-VQ,而VP,VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以PQ是一个常数. 也就是说,截线上任意一点到两个定点F1,F2的距离的和等于常数. 通过分析,给出椭圆的概念: 一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距. 问题1　为什么常数要大于F1F2? 解　因为动点与F1,F2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以MF1+MF2>F1F2. 问题2　若MF1+MF2=F1F2,动点M的轨迹是什么? 解　线段F1F2. 问题3　若MF1+MF2<F1F2,动点M的轨迹是什么? 解　不存在. 双曲线的概念: 一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距. 说明:(1)常数要小于F1F2. (2)若|MF1-MF2|=F1F2,动点M的轨迹是以F1,F2为端点向外侧的两条射线. (3)若|MF1-MF2|>F1F2,动点M的轨迹不存在. 抛物线的概念: 一般地,平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)