《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-1名师导学：第三章 空间向量与立体几何（含解析）

第 3　 章 空间向量与立体几何　　　 第1课时　空间向量及其线性运算 　 教学过程 一、 问题情境 必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B. 问题1　游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示? 解　是向量,即+=. (图1) (图2) 问题2　如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么?还是向量吗?它与上面的位移向量相同吗?为什么? 生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内. 师:这就是我们今天要学习研究的内容——空间向量.(点题) 师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容?用什么方法? 二、 数学建构 问题3　空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些?[1] 1.概念梳理 平面向量 空间向量 定义 既有大小又有方向的量 表示法 几何表示: 字母表示:a, 向量的模 向量的大小 相等向量 方向相同且大小相等的向量 相反向量 方向相反且大小相等的向量 单位向量 模长等于1的向量 　　2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算) (图1) 　　 加法:a+b=+=; 减法:a-b=-=; 数乘:λa=(λ∈R). 3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律) (图2) 　　 (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R). 4.共线(平行)向量 (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 记作:a ∥b. 规定:零向量与任意向量共线. (2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 三、 数学运用 【例1】　(教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. (1)+;(2)++; (3)--.[2] (见学生用书P49) (例1) 　　 [规范板书]　解　(1)+=. (2)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以++=+=. (3)--