精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考卷（一）数学试题

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则 A. B. C. D. 2. 已知，向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线：与圆：交于，两点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 数列满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 现有长为的铁丝，要截成小段，每段的长度为不小于的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数，以下结论正确的是（ ） A. 如果a=b，那么为奇函数 B. 如果，那么为单调函数 C. 如果，那么没有零点 D. 如果，那么的最小值为2 10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（） A. B. C. 平面 D. 几何体2表面积为 11. 已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 12. 已知，函数，则（ ） A. 对任意，，存在唯一极值点 B. 对任意，，曲线过原点切线有两条 C. 当时，存在零点 D. 当时，的最小值为1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则________． 14. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，则的展开式中，的系数是______.（用数字作答） 15. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________． 16. 如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，内角的对边分别为，且 （1）求B （2）是否存在，使得，若存在，求若不存在，说明理由. 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最大？ 19. 已知数列满足，， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 21. 某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立． （1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望； （2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由． 22. 已知抛物线，是抛物线上的三点，且满足，过作于点． （1）若，求证直线过定点； （2）设，记点轨迹围成的图形的面积为，记的面积为，当直线的倾斜角不是钝角时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则 A. B.