练案53 第8章 第8讲 第3课时 定点，定值、探索性问题-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习提能训练

练案[５３] 第三课时　 定点、定值、探索性问题 Ａ 组基础巩固 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、单选题 １. 直线 ｌ 与抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｘ 交于 ＡꎬＢ 两点ꎬＯ 为坐标原 点ꎬ若直线 ＯＡꎬＯＢ 的斜率分别为 ｋ１ꎬｋ２ꎬ且满足 ｋ１ｋ２ ＝ ２ ３ ꎬ则直线 ｌ 过定点 (　 　 ) Ａ. ( － ３ꎬ０) Ｂ. (０ꎬ － ３) Ｃ. (３ꎬ０) Ｄ. (０ꎬ３) ２. (２０２３􀅰河南信阳高级中学开学考)已知双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的左、右焦点分别为 Ｆ１、Ｆ２ꎬｃ 是 双曲线 Ｃ 的半焦距ꎬ点 Ａ 是圆 Ｏ:ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｃ２ 上一点ꎬ 线段 Ｆ２Ａ 交双曲线 Ｃ 的右支于点 Ｂꎬ ｜ Ｆ２Ａ ｜ ＝ ａꎬＦ２Ａ → ＝ ３ Ｆ２Ｂ →ꎬ则双曲线 Ｃ 的离心率为 (　 　 ) Ａ. ６２ Ｂ. ３ ３ ２ Ｃ. ３ ６ ２ Ｄ. ６ ３. 已知椭圆 Ｃ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)上存在两点 Ｍ、Ｎ 关 于直线 ２ｘ － ３ｙ － １ ＝ ０ 对称ꎬ且线段 ＭＮ 中点的纵坐标 为 ２ ３ ꎬ则椭圆 Ｃ 的离心率是 (　 　 ) Ａ. １３ Ｂ. ３ ３ Ｃ. ２ ３ Ｄ. ２ ２ ３ ４. (２０２３􀅰安徽江淮十校联考)已知 Ｆ１ꎬＦ２ 分别为椭圆 ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ２ ＝ １ 的左、右焦点ꎬ点 Ｐ 为椭圆上一点ꎬ以 Ｆ２ 为 圆心的圆与直线 ＰＦ１ 恰好相切于点 Ｐꎬ则∠ＰＦ１Ｆ２ 是 (　 　 ) Ａ. ４５° Ｂ. ３０° Ｃ. ６０° Ｄ. ７５° ５. (２０２２􀅰西南四省名校联考、河北衡水中学二调)在抛 物线 ｙ２ ＝ ８ｘ 上有三点 ＡꎬＢꎬＣꎬＦ 为其焦点ꎬ且ＡＦ→ ＝ １ ３ (ＡＢ → ＋ ＡＣ→)ꎬ则 ｜ＡＦ→｜ ＋ ｜ＢＦ→｜ ＋ ｜ＣＦ→｜ ＝ (　 　 ) Ａ. ６ Ｂ. ８ Ｃ. ９ Ｄ. １２ ６. (２０２２􀅰湖北宜昌市夷陵中学模拟)已知双曲线 Ｃ１: ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)与抛物线 Ｃ２:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)有 公共焦点 Ｆꎬ过 Ｆ 作双曲线一条渐近线的垂线ꎬ垂足为 点 Ａꎬ延长 ＦＡ 与抛物线 Ｃ２ 相交于点 Ｂꎬ若点 Ａ 为线段 ＦＢ 的中点ꎬ双曲线 Ｃ１ 的离心率为 ｅꎬ则 ｅ２ ＝ (　 　 ) Ａ. ３ ＋ １２ Ｂ. ５ ＋ １ ２ Ｃ. ５ ＋ １３ Ｄ. ５ ＋ ２ ３ 二、多选题 ７. (２０２２􀅰河北唐山模拟)已知直线 ｌ:ｘ ＝ ｔｙ ＋ ４ 与抛物 线 Ｃ:ｙ２ ＝ ４ｘ 交于 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＯ 为坐标 原点ꎬ直线 ＯＡꎬＯＢ 的斜率分别记为 ｋ１ꎬｋ２ꎬ则 (　 　 ) Ａ. ｙ１􀅰ｙ２ 为定值 Ｂ. ｋ１􀅰ｋ２ 为定值 Ｃ. ｙ１ ＋ ｙ２ 为定值 Ｄ. ｋ１ ＋ ｋ２ ＋ ｔ 为定值 ８. (２０２３􀅰广东汕头期中)在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ已 知双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的离心率为 ５２ ꎬ ＡꎬＢ 分别是双曲线 Ｃ 的左ꎬ右顶点ꎬ点 Ｐ 是双曲线 Ｃ 的右支上位于第一象限的动点ꎬ记 ＰＡꎬＰＢ 的斜率分别 为 ｋ１ꎬｋ２ꎬ则 (　 　 ) Ａ. 双曲线 Ｃ 的焦点到其一条渐近线的距离为 １ 时ꎬ双 曲线 Ｃ 的方程为ｘ ２ ４ － ｙ ２ ＝ １ Ｂ. 双曲线 Ｃ 的渐近线方程为 ｙ ＝ ± ２ｘ Ｃ. ｋ１ｋ２ 为定值 Ｄ. 存在点 Ｐꎬ使得 ｋ１ ＋ ｋ２ ＝ １ ９. (２０２３􀅰湖北“宜荆荆嗯”起点考试)已知椭圆 Ｃ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)的左ꎬ右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ长轴长为 ４ꎬ点 Ｐ( ２ ꎬ１)在椭圆 Ｃ 外ꎬ点 Ｑ 在椭圆 Ｃ 上ꎬ则 (　 　 ) Ａ. 椭圆 Ｃ 的离心率的取值范围是 ０ꎬ ２２ æ è ç ö ø ÷ Ｂ. 当椭圆 Ｃ 的离心率为 ３２ 时ꎬ ｜ ＱＦ１ ｜的取值范围是[２ － ３ ꎬ２ ＋ ３ ] Ｃ. 存在点 Ｑ 使得ＱＦ１ →􀅰ＱＦ２ → ＝０ Ｄ. １｜ＱＦ１ ｜ ＋ １｜ＱＦ２ ｜ 的最小值为 １ 三、填空题 １０. (２０２１􀅰河南中原名校联考)直线 ｌ 与抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 交于两不同点 ＡꎬＢꎬ其中 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ若 ｙ１ｙ２ ＝ － ３６ꎬ则直线 ｌ 恒过点的坐标是　 　 　 　 . １１. (２０２２􀅰江西南昌模拟)已知 Ｆ１、Ｆ２ 分别是双曲线 Ｅ: ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的左、右焦点ꎬ