练案50 第8章 第7讲 抛物线-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习提能训练

练案[５０] 第七讲　 抛物线 Ａ 组基础巩固 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、单选题 １. (２０２３􀅰安徽皖江名校联考)设抛物线 ｙ ＝ １１２ｘ ２ 上一点 Ｐ 到 ｘ 轴的距离是 １ꎬ则点 Ｐ 到该抛物线焦点的距离 是 (　 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ４ Ｃ. ７ Ｄ. １３ ２. (２０２０􀅰北京)设抛物线的顶点为 Ｏꎬ焦点为 Ｆꎬ准线为 ｌꎬＰ 是抛物线上异于 Ｏ 的一点ꎬ过 Ｐ 作 ＰＱ⊥ｌ 于 Ｑꎬ则 线段 ＦＱ 的垂直平分线 (　 　 ) Ａ. 经过点 Ｏ Ｂ. 经过点 Ｐ Ｃ. 平行于直线 ＯＰ Ｄ. 垂直于直线 ＯＰ ３. (２０２３􀅰贵州联考)已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｘ 的焦点为 Ｆꎬ Ａ(ｍꎬｎ)是抛物线 Ｃ 上的一点ꎬ若 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ５２ ꎬ则△ＯＡＦ (Ｏ 为坐标原点)的面积是 (　 　 ) Ａ. １２ Ｂ. １ Ｃ. ２ Ｄ. ４ ４. (２０２２􀅰全国高考真题)设 Ｆ 为抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦 点ꎬ点 Ａ 在 Ｃ 上ꎬ点 Ｂ(３ꎬ０)ꎬ若 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ｜ ＢＦ ｜ ꎬ则 ｜ＡＢ ｜ ＝ (　 　 ) Ａ. ２ Ｂ. ２ ２ Ｃ. ３ Ｄ. ３ ２ ５. (２０２１􀅰安徽安庆模拟)已知抛物线 ｙ ＝ １４ ｘ ２ 上的动点 Ｐ 到直线 ｌ:ｙ ＝ － ３ 的距离为 ｄꎬＡ 点坐标为(２ꎬ０)ꎬ则 ｜ＰＡ ｜ ＋ ｄ 的最小值等于 (　 　 ) Ａ. ４ Ｂ. ２ ＋ ５ Ｃ. ２ ５ Ｄ. ３ ＋ ５ ６. (２０２２􀅰山西太原模拟)过抛物线 ｘ２ ＝ ８ｙ 焦点 Ｆ 的直 线交抛物线于 ＭꎬＮ 两点ꎬ若ＭＦ→ ＝ λ ＦＮ→ꎬ ｜ＭＮ ｜ ＝ ９ꎬ则 λ 的值为 (　 　 ) Ａ. １３ Ｂ. １ ２ Ｃ. １３ 或 ３ Ｄ. １ ２ 或 ２ ７. (２０２１􀅰四川德阳诊断)已知抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 的弦 ＡＢ 的中点的横坐标为 ３ꎬ则 ｜ＡＢ ｜的最大值为 (　 　 ) Ａ. ４ Ｂ. ６ Ｃ. ８ Ｄ. １０ ８. (２０２１􀅰广西南宁适应性测试)已知抛物线 Ｃ:ｘ２ ＝ ２ｐｙ (ｐ > ０)的焦点在直线 ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ 上ꎬ又经过抛物线 Ｃ 的焦点且倾斜角为 ６０°的直线交抛物线 Ｃ 于 Ａ、Ｂ 两 点ꎬ则 ｜ＡＢ ｜ ＝ (　 　 ) Ａ. １２ Ｂ. １４ Ｃ. １６ Ｄ. １８ 二、多选题 ９. (２０２２􀅰湖南湘潭模拟改编)已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)的焦点为 Ｆꎬ点 Ｔ 在 Ｃ 上ꎬ且 ｜ＦＴ ｜ ＝ ５２ ꎬ若点Ｍ 的 坐标为(０ꎬ１)ꎬ且 ＭＦ⊥ＭＴꎬ则 Ｃ 的方程为 (　 　 ) Ａ. ｙ２ ＝ ２ｘ Ｂ. ｙ２ ＝ ８ｘ Ｃ. ｙ２ ＝ ４ｘ Ｄ. ｙ２ ＝ ｘ １０. (２０２２􀅰河北邯郸期末)已知 ＡꎬＢ 是抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ( ｐ > ０) 上两点ꎬ焦点为 Ｆꎬ抛物线上存在一点 Ｍ(３ꎬｔ)到准线的距离为 ４ꎬ则下列说法正确的是 (　 　 ) Ａ. ｐ ＝ ２ Ｂ. 若 ＯＡ⊥ＯＢꎬ则直线 ＡＢ 恒过定点(４ꎬ０) Ｃ. 若△ＡＯＦ 外接圆与抛物线 Ｃ 的准线相切ꎬ则该圆 半径为 ３ ２ Ｄ. 若ＡＦ → ＝３ ＦＢ → ꎬ则直线 ＡＢ 的斜率为 ３ 三、填空题 １１. 抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)上一点 Ｍ(３ꎬｔ)与焦点 Ｆ 的距 离 ｜ＭＦ ｜ ＝ ｐꎬ则 Ｍ 到坐标原点的距离为　 　 　 　 . １２. (２０２３􀅰安徽 Ａ１０ 联盟摸底)已知抛物线 Ｃ１:ｙ２ ＝ １２ｘ 的焦点为 Ｆꎬ圆 Ｃ２:ｘ２ ＋ ｙ２ － ６ｘ ＝ ０ꎬ过 Ｆ 的直线 ｌ 与 Ｃ１ 交于 ＡꎬＢ 两点ꎬ与 Ｃ２ 交于 ＭꎬＮ 两点ꎬ且 ＡꎬＭ 在 同一象限ꎬ则 ｜ＡＭ ｜ ＋ ４ ｜ＢＮ ｜的最小值为　 　 　 　 . １３. (２０２３􀅰湖北“腾云联盟”联考)已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)的准线 ｌ 与 ｘ 轴的交点为 Ｈꎬ抛物线 Ｃ 的 焦点为 Ｆꎬ过点 Ｈ 的直线与抛物线 Ｃ 交于 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ Ｂ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ ｜ ＢＦ ｜ ＝ ４ ｜ ＡＦ ｜ ꎬ则 ｘ２ ｘ１ ＝ 　 　 　 　 ꎻ若 ＡＢ 的中点到准线 ｌ 的距离为２５４ ꎬ则 ｐ ＝ 　 　 　 　 . 四、解答题 １４. (２０２３􀅰内蒙古包头调研)已知抛物线 Ｃ 的顶点在原 点ꎬ焦点 Ｆ 在 ｙ 轴上ꎬ且 Ｃ 经过点 Ａ(２ꎬ１)ꎬ过 Ｆ 且斜率 为 ｋ(ｋ <０)的直线 ｌ 与 Ｃ 交于 ＭꎬＮ 两点ꎬ｜ＭＮ ｜ ＝８. (１)求 Ｃ 和 ｌ 的方程ꎻ (２)求过点 ＭꎬＮ 且与 Ｃ 的准线相切的圆的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 �