练案20 第3章 第3讲 第2课时 导数与不等式恒(能)成立-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习提能训练

练案[２０] 第二课时　 导数与不等式恒(能)成立 Ａ 组基础巩固 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｅｘ － ２ｘ ＋ １. (１)当 ａ ＝ １ 时ꎬ求函数 ｆ(ｘ)的极值ꎻ (２)若 ｆ(ｘ) > ０ 对 ｘ∈Ｒ 恒成立ꎬ求实数 ａ 的取值范 围. ２. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ － ｅｘ(ａ∈Ｒ)ꎬｇ(ｘ) ＝ ｌｎ ｘｘ . (１)求函数 ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ (２)∃ｘ∈(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ使不等式 ｆ(ｘ) － ｇ(ｘ) ＋ ｅｘ≤０ 成 立ꎬ求 ａ 的取值范围. ３. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｎ ｘ. (１)求函数 ｇ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ ＋ １) － ｘ 的最大值ꎻ (２)若对任意 ｘ > ０ꎬ不等式 ｆ(ｘ)≤ａｘ≤ｘ２ ＋ １ 恒成立ꎬ 求实数 ａ 的取值范围. ４. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ (ｘ ＋ ａ － １)ｅｘꎬｇ(ｘ) ＝ １２ ｘ ２ ＋ ａｘꎬ其中 ａ 为常数. 若对任意的 ｘ∈[０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ不等式 ｆ( ｘ)≥ ｇ(ｘ)恒成立ꎬ求实数 ａ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —９０３— Ｂ 组能力提升 １. (２０２３􀅰邢台模拟)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ３ｅｘ . (１)求 ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ (２)若不等式 ｆ(ｘ)≥ｍｘ２ 对任意 ｘ∈Ｒ 恒成立ꎬ求 ｍ 的 取值范围. ２. (２０２２􀅰衡水检测)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ａｌｎ ｘ ＋ ｂｘ 在 ｘ ＝ １ 处取得极值. (１)若 ａ > １ꎬ求函数 ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ (２)若 ａ > ３ꎬ函数 ｇ( ｘ) ＝ ａ２ｘ２ ＋ ３ꎬ若存在 ｍ１ꎬｍ２ ∈ １ ２ ꎬ２[ ]ꎬ使得 ｜ ｆ(ｍ１) － ｇ(ｍ２) ｜ < ９ 成立ꎬ求 ａ 的取 值范围. ３. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｎ ｘ － １２ ａｘ ２ － ｘ. (１)若函数 ｆ(ｘ)在[１ꎬ ＋ ∞ )上单调递增ꎬ求实数 ａ 的 取值范围. (２)若函数 ｆ(ｘ)的图象在 ｘ ＝ １ 处的切线平行于 ｘ 轴ꎬ 则是否存在整数 ｋꎬ使不等式 ｘ[ ｆ( ｘ) ＋ ｘ － １] > ｋ(ｘ － ２)在 ｘ > ｅ 时恒成立? 若存在ꎬ求出 ｋ 的最 大值ꎻ若不存在ꎬ请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —０１３— (2, + ∞ )上单调递减, 所以当 x > 4 + 4m > 2 时, f ( x) = x 2m +2 - 1 2 mx( ) - 4ln x < f 4 + 4m( ) <0, 所以 f(x)≥0 不恒成立, 即 m > 1 不符合题意. ④当 m≤0 时,函数 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2, + ∞ )上单 调递增, f(x)≥0 恒成立的充要条件是 f(2)≥0, 解得 m≥2ln 2 - 2, 所以 2ln 2 - 2≤m≤0. 综上,实数 m 的取值范围是[2ln 2 - 2,0]. 变式训练 2:[解析] 　 (1)当 a = e 时,f(x) = ex - ln x + 1, f ′(x) = ex - 1x ,f ′(1) = e - 1,f(1) = e + 1,曲线 y = f( x)在点 (1,f(1))处的切线方程为 y - (e + 1) = (e - 1)(x - 1). 即 y = (e - 1)x + 2. 直线 y = (e - 1)x + 2 在 x 轴、y