练案19 第3章 第3讲 第1课时 导数与不等式的证明-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习提能训练

练案[19] 第三讲 导数的综合应用 第一课时 导数与不等式的证明 们A组基础巩固 3.已知函数八x)=ae-nx-1. (1)设x=2是f(x)的极值点，求a,并求f(x)的单调 1.已知函数八x)=x2e22 区间： (1)求曲线y=f八x)在点(1八1))处的切线方程： (2)证明：当a≥时(x)≥0. (2)当xe[0,2]时，求证：/(x)≥-2x2+8x-5. 2.(2023·河北省“五个-"名校联盟高三上学期数学摸4.已知函数fx)=2ar+b:-1-2lnx(aeR).当x>y 底试卷)已知函数f代x)=lnx+ax(a≠0). >e-1时，求证：eln(y+1)>eln(x+1). (1)讨论八x)的零点个数： 2证明≤) 307- B组能力提升身 3.(2022·重庆调研)已知函数f(x)=1nx-x2+(a-b -1)x+b+1(a,b∈R). 1.(2023·广西柳州毕业班摸底)已知函数f八x)=x+ (1)若a=0,讨论f八x)的单调性： xlnx在x=e2处取得极小值. (2)若0<a<2,b=1,实数x1,x2为方程f八x)=m- (1)求实数a的值： r2的两个不等实根，求证：上+上>4-2a (2)当x>1时，求证：f(x)>3(x-1). xX 2.(2022·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)=e- 2x+2a,xE R. (1)求(x)的单调区间与极值： (2)求证：当a>n2-1且x>0时，e>x2-2x+1. -308-令 t = x2 x1 > 1,则 x2 = tx1,代入上式得 ln x1 - x1 = ln t + ln x1 - tx1,得 x1 = ln t t - 1,x2 = tln t t - 1. 所以 x1 + x2 = (t + 1) ln t t - 1 > 2⇔ln t - 2(t - 1) t + 1 > 0, 设 g(t) = ln t - 2(t - 1)t + 1 (t > 1), 所以 g′(t) = 1t - 2(t + 1) - 2(t - 1) (t + 1) 2 = (t - 1) 2 t( t + 1) 2 > 0, 所以当 t > 1 时,g(t)单调递增, 所以 g(t) > g(1) = 0, 所以 ln t - 2(t - 1)t + 1 > 0, 故 x1 + x2 > 2. 练案[19] A 组基础巩固 1. [解析] 　 (1)f ′(x) = 2e2x - 2(x2 + x),f ′(1) = 4,f(1) = 1,则曲线 y = f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y - 1 = 4(x - 1),即 y = 4x - 3. (2)证明:当 x∈[0,2]时,令 g(x) = x2e2x - 2 + 2x2 - 8x + 5, 则 g′(x) = 2e2x - 2(x2 + x) + 4x - 8, 令 h(x) = g′(x),则 h′(x) = 2e2x - 2(2x2 + 4x + 1) + 4 > 0, 所以 g′(x)在[0,2]上单调递增,且 g′(1) = 0, 所以 g(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增, 所以 g(x)的最小值为 g(1) = 0,所以 g(x)≥0, 即 f(x)≥ -2x2 + 8x - 5. 2. [解析] 　 (1)令 f(x) = ln x + ax = 0, 则 a = - ln xx ,设 g(x) = - ln x x ,g′(x) = ln x - 1 x2 . 当 x∈(0,e)时,g′(x) < 0,x∈(e, + ∞ )时,g′(x) > 0,∴ g(x)在 (0,e)上单调递减, 在(e, + ∞ )上单调递增, ∴ g(x) min = g(e) = - 1 e , ∵ x→0 时,g(x)→ + ∞ ;当 x > e 时,g( x) < 0 且 x→ + ∞ 时, g(x)→0, ∴ 当 a < - 1e 上时,f(x)无零点,当 a = - 1 e 或 a > 0 时,f(x)有 一个零点, 当 - 1e < a < 0 时,f(x)有两个零点. (2)证明:设 - xa = t, 则 f(ex) x ≤f - x a( )⇔ f(e - at) - at ≤f( t), 即证 ln t + at + e - at t - 1≥0(t > 0), 即证 ln t + at + e - at - ln t - 1≥0(t > 0), 即证:f(x) + e - f(x) - 1≥0(x > 0), 设 h(x) = x + e - x - 1,则 h′( x) = 1 - e - x,当 x∈( - ∞ ,0)时, h′(x) <