2023年九年级中考数学几何模型解读 第十五讲 十字架模型

中考数学几何模型解读 第十五讲 十字架模型 【模型一】三角形中的十字架（斜十字）模型 等边三角形中，点、分别在、上，且，则=600, 此时△ABE∽△BME，△AMF∽△BAF，△AMF∽△ACE(母子图）,△AMF∽△ACE.四边形EMFC四点共圆，CM通过隐圆问题可以求最值。 【模型二】正方形中十字架模型 第一种情况：过顶点 在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA） 所以AE=BF 第二种情况：不过顶点 在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 【模型三】矩形中的十字结构模型 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系； 可证：△ADE∽△BAF 所以 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系 【方法】 专题训练（一） 1．如图，点O是正方形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、CD、BC、AD上的点，且EF⊥GH，EF、GH相交于点O，下列结论：①AE＝BG；②∠BEO＝∠CGO；③OE＝OH；④S正方形ABCD≠4S四边形AEOH中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是矩形的一条对角线，交于点，交于点，若，，则的长是　　 A． B． C． D．4 3．如图，在正方形中，点、点分别在、上，且，若四边形的面积是1，的长为1，则正方形的边长为　　 A．1 B．2 C． D． 4．如图，已知正方形的边长为12，，、交于点．则下列结论：①；②垂直平分；③；④中，正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）A． B． C． D． 6．如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若BG＝2BE，则DF：CF的长为（　　）AB． C． D． 7．已知正方形ABCD的边长为4，点P是边CD上一点，且CP＝3，连接BP，Q为BP的中点，过点Q作QM⊥PB交AC于点M，连接MB，MP，则MQ的长为（　　）A．4 B．5 C． D．3 8．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，∠AEB＝∠AEF．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G．若BG＝2BE，则AG：BG＝　 　，DF：CF＝　 　． 12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，AE的垂直平分线交边BC于点G，交边AE于点F，连接DF，EG，以下结论：①DF＝，②DF∥EG，③△EFG≌△ECG，④BG＝，正确的有：　 　（填写序号） 13．如图，正方形的边长为10，、分别是、边上的点，，分别连接、，两线段交于一点，点、分别是、边上的中点． （1）当时，线段的长为 　　．（2）连结，当时，　　． 14．在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD＝CD时，求AE的长； 15.如图，把边长为AB＝、BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长． 16．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（与C、D不重合），DF⊥AE，垂足为G，交BC于F． （1）求证：AE＝DF； （2）连接AF，若E是CD的中点，且CD＝4，求△AFG的面积