专题06 指数幂的拓展培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

命学科网 学种网票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题06指数幂的拓展培优题型 关干幂，其实并不陌生，在初中时已经学过正整数指数幂及其基本的运算性质，并经历了将正整数指 数幂推广到整数指数幂的过程。而沪教版2020必修第一册通过定义分数指数幂，将指数从整数拓展到有 理数，再引入无理数指数幂，最终将指数从有理数拓展到实数：从而，为下一章用幂函数描述变量之间的 相应关系作好准备： 《必修第一册》目录，第3章幂、指数与对数：3.1幂与指数 3.1.1指数幂的拓展 知识梳理 1、指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂 2.幂的运算性质：对任意给定的正实数a、b及实数、1，成立 (1)a'd=a+t: (2)(d)y=a”: (3)(ab)=a: 3、初中相关知识复习 a的n次幂 a=q2L430,(niN,n31): n个a a°=1a'0j 当a10时，可以定义： 。a0,iN,nD a的n次方根 一般地.如果n为大干1的整数.且x”=a,那么x叫做a的n次方根： a叫做a的n次根式：n叫做根指数.a叫做被开方数 4、相关性质与定理（沪教版2020） 性质对任意给定的正数a、b及实数S、t,有 a'a'=_ _,(a')y=一(aby= 28 【注意】1、上述等式均在有意义的条件下才能成立.否则有一定成立，如：m2”不一定等干(m),因 为m2有可能没有意义（当m<0时）：2、实数指数幂运算的注意事项：①实数指数幂的运算性质是由有 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 命学科网 字种网创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的.有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对干实数指数幂 也同样适用。②在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则有可能不 成立。 定理当a>1,S>0时. 5、a的n次方根一般地.如果n为大于1的整数.且x”=a,那么x叫做a的n次方根： a的n次方根用符号Va表示，这里n叫做根指数.a叫做被开方数。 正数的n次方根是一个正数 n是奇数 a的n次方根用符号√a表示 负数的n次方根是一个负数 正数的n次方根有两个，这两 正数的n次方根用符号a表示，负数的n次 个数互为相反数 方根用符号-刊a表示。正的n次方根与负n次 n是偶数 方根可以合并写成±Wa(a>0) 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0.记作0=0 【注意】开方与乘方：求a的n次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，这两种 运算不能混淆。 题 型精讲 题型1、有关指数幂的计算 例1、计算下列各式： (1) 令名+85+55y:a)75.324.66+66 (3) a3-8ab 2 a3+2ab+4b3 【提示】 【答案】： 【解析】： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 2 命学科网 学种网票创，让学司更容易！ o JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【说明】1、指数幂的一般运算步骤：有括号的先算括号里面的.无括号的先算指数运算，负指数幂化为正 指数幂，底数是分数.先要化成假分数，要尽可能用幂的形式表示，以便干用指数幂的运算性质：2、根式 一般先转化成分数指数幂，再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中， 一般采用由内到外逐层变换的方法，运用运算性质准确求解，例如：√V(2)°=[(2)]下=(2)2=8： 3、运算顺序：①能否应用公式：②指数为负先化正：③根式化为分数指数幂。 题型2、带有条件的有关指数幂运算 例2、（已知m=2,n=3.则V丽n 的值是 nm2'Yma (2)设a2r=2,且a>0,求： a+a a+。的值 【说明】本题属干条件求值：解决条件求值问题的思路：1、由条件直接去推结论：2、由结论去探求条件： 3、分别从条件和结论出发向中间靠拢：在解答过程中灵活应用完全平方、立方和公式，适时引入换元法可 简化运算： 【注意】带有条件的求值问题：“反其道”先化简.再计算，往往更简捷： 题型3、根式的计算与化简 例3、化简下列各式： (1)V1-x2+3-x2(x≥1). (2)Vx-p': ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 3 命学科网 学种网票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【说明】对干多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答.或者用整体思想来解题 化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同秉以分母的有理化因式即可.利用根式的性质解题的关键是 在理解的基础上熟记根式的意义与性质.特别要注意在（α）”中，n是偶数且a<0的情况：2、对干根式 的