第10章 第5讲 离散型随机变量的分布列，数字特征及超几何分布-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第五讲　 离散型随机变量的分布列、 数字特征及超几何分布 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 离散型随机变量 对随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ｗꎬ都有 唯一的实数 Ｘ(ｗ)与之对应ꎬ称为　 　 　 　 　 ꎬ通常用 大写英文字母 ＸꎬＹꎬ􀆺表示随机变量. 所有取值可以一 一列出的随机变量ꎬ称为　 　 　 　 随机变量. 知识点二　 离散型随机变量的分布列及性质 (１)一般地ꎬ若离散型随机变量 Ｘ 可能取的不同 值为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｉꎬ􀆺ꎬｘｎꎬ称 Ｘ 取每一个值 ｘｉ( ｉ ＝ １ꎬ２ꎬ 􀆺ꎬｎ)的概率Ｐ(Ｘ ＝ ｘｉ) ＝ ｐｉ 为 Ｘ 的分布列ꎬ可用表格 表示为: Ｘ ｘ１ ｘ２ 􀆺 ｘｉ 􀆺 ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ 􀆺 ｐｉ 􀆺 ｐｎ 　 　 (２)离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐｉ≥０( ｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ)ꎻ②∑ ｎ ｉ ＝ １ ｐｉ ＝ 　 　 　 　 　 　 ＝ １. 　 　 知识点三　 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｐ(Ｘ ＝ ｘｉ) ＝ ｐｉꎬｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ. (１)均值:称 Ｅ(Ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 为随机变量 Ｘ 的均值或数学期望. (２)方差:称 Ｄ(Ｘ) ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｘｉ － Ｅ(Ｘ)) ２ｐｉ 为随机变 量 Ｘ 的方差ꎬ其算术平方根 Ｄ(Ｘ) 为随机变量 Ｘ 的　 　 　 　 . (３)均值与方差的性质 ①Ｅ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ 　 　 　 　 　 . ②Ｄ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ 　 　 　 　 　 . ③Ｄ(Ｘ) ＝ Ｅ(Ｘ２) － (Ｅ(Ｘ)) ２ . 知识点四　 常见离散型随机变量的分布列 (１)两点分布或 ０ － １ 分布:若随机变量 Ｘ 服从两 点分布ꎬ其分布列为 Ｘ ０ １ Ｐ １ － ｐ ｐ 　 　 其中 ｐ ＝ Ｐ(Ｘ ＝ １)称为成功概率. 若 Ｘ 服从两点分布ꎬ则 Ｅ(Ｘ) ＝ ｐꎬＤ(Ｘ) ＝ ｐ(１ － ｐ) . (２)超几何分布:在含有 Ｍ 件次品的 Ｎ 件产品中ꎬ 任取 ｎ 件ꎬ其中恰有 Ｘ 件次品ꎬ则 Ｐ(Ｘ ＝ ｋ) ＝ ＣｋＭＣｎ － ｋＮ －Ｍ ＣｎＮ ꎬ ｋ ＝ ０ꎬ１ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｍꎬ其中 ｍ ＝ ｍｉｎ{Ｍꎬｎ}ꎬ且 ｎ≤Ｎ、Ｍ≤Ｎꎬ ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ ＋ ꎬ称随机变量 Ｘ 服从超几何分布. 可记为 ｈ(ＮꎬＭꎬｎ) . Ｘ ０ １ 􀆺 ｍ Ｐ Ｃ０ＭＣｎ － ０Ｎ －Ｍ ＣｎＮ Ｃ１ＭＣｎ － １Ｎ －Ｍ ＣｎＮ 􀆺 ＣｍＭＣｎ － ｍＮ －Ｍ ＣｎＮ 　 　 Ｅ(Ｘ) ＝ ｎｐꎬＤ(Ｘ) ＝ ｎｐ(１ － ｐ)Ｎ － ｎＮ － １ꎬ其中 ｐ ＝ Ｍ Ｎ . 归 纳 拓 展 １. 若 Ｘ 是随机变量ꎬ则 Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ(ａꎬｂ 是常数)也是随 机变量. ２. 随机变量 Ｘ 所取的值分别对应的事件是两两互 斥的. ３. 随机变量的均值是常数ꎬ样本的平均数是随机变量ꎬ 它不确定. ４. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏 离均值的平均程度ꎬ方差或标准差越小ꎬ则偏离变量 的平均程度越小. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)抛掷均匀硬币一次ꎬ出现正面的次数是随机变 量. ( 　 ) (２)在离散型随机变量的分布列中ꎬ随机变量取各 个值的概率之和可以小于 １. ( 　 ) (３)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼 此互斥的. ( 　 ) (４)由下列给出的随机变量 Ｘ 的分布列服从两点分 布. ( 　 ) Ｘ ２ ５ Ｐ ０. ３ ０. ７ (５)从 ４ 名男演员和 ３ 名女演员中选出 ４ 人ꎬ其中女 演员的人数 Ｘ 服从超几何分布. ( 　 ) (６)某人射击时命中的概率为 ０. ５ꎬ此人射击三次命 中的次数 Ｘ 服从两点分布. ( 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA