第10章 第3讲 二项式定理-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第三讲　 二项式定理 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 二项式定理 (ａ ＋ ｂ) ｎ ＝ Ｃ０ｎａｎ ＋ Ｃ１ｎａｎ － １ ｂ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｋｎａｎ － ｋ ｂｋ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｎｎｂｎ(ｎ∈Ｎ ＋ ) . 这个公式叫做二项式定理ꎬ右边的多项式叫做(ａ ＋ ｂ) ｎ 的二项展开式ꎬ其中的系数 Ｃｋｎ(ｋ ＝ ０ꎬ１ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ) 叫做　 　 　 　 　 　 ꎬ式中的　 　 　 　 　 　 叫做二项展 开式的　 　 　 　 ꎬ用 Ｔｋ ＋ １ 表示ꎬ即通项为展开式的第 　 　 　 　 项:Ｔｋ ＋ １ ＝ 　 　 　 　 . 知识点二　 二项展开式形式上的特点 (１)项数为　 　 　 　 . (２)各项的次数和都等于二项式的幂指数 ｎꎬ即 ａ 与 ｂ 的指数的和为　 　 　 . (３)字母 ａ 按　 　 　 　 排列ꎬ从第一项开始ꎬ次数 由 ｎ 逐项减小 １ 直到零ꎻ字母 ｂ 按　 　 　 　 排列ꎬ从第 一项起ꎬ次数由零逐项增加 １ 直到 ｎ. 知识点三　 二项式系数的性质 归 纳 拓 展 １. 二项式定理中ꎬ通项公式 Ｔｋ ＋ １ ＝ Ｃｋｎａｎ － ｋ ｂｋ 是展开式 的第 ｋ ＋ １ 项ꎬ不是第 ｋ 项. ２. 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指 Ｃ０ｎꎬＣ１ｎꎬ􀆺ꎬＣｎｎꎬ它只与各项的 项数有关ꎬ而与 ａ、ｂ 的值无关ꎻ而项的系数是指该项 中除变量外的常数部分ꎬ它不仅与各项的项数有关ꎬ 而且也与 ａ、ｂ 的值有关. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)Ｃｋｎａｎ － ｋｂｋ 是二项展开式的第 ｋ 项. ( 　 ) (２)二项展开式中ꎬ系数最大的项为中间一项或中 间两项. ( 　 ) (３)(ａ ＋ ｂ) ｎ 的展开式中某一项的二项式系数与 ａꎬ ｂ 无关. ( 　 ) (４)(ａ － ｂ)ｎ 的展开式第 ｋ ＋１ 项的系数为 Ｃｋｎａｎ － ｋｂｋ . ( 　 ) (５)(ｘ － １) ｎ 的展开式二项式系数和为 － ２ｎ . ( 　 ) (６)在(１ － ｘ) ９ 的展开式中系数最大的项是第 ５ 项 和第 ６ 项. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选择性必修 ３Ｐ３８ Ｔ５(２)) ９ｘ － １ ３ ｘ æ è ç ö ø ÷ １８ 的展开式的 常数项为　 　 　 　 . ３. (选择性必修 ３Ｐ３８Ｔ５(１))(１ － ２ｘ) ５(１ ＋ ３ｘ) ４ 的展开 式中按 ｘ 的升幂排列的第 ３ 项为　 　 　 　 . 题组三　 走向高考 ４. (２０２１􀅰天津高考)在 ２ｘ３ ＋ １ｘ æ è ç ö ø ÷ ６ 的展开式中ꎬｘ６ 的 系数是　 　 　 　 . ５. (２０２２􀅰新高考Ⅰ卷) １ － ｙｘ æ è ç ö ø ÷(ｘ ＋ ｙ) ８ 的展开式中 ｘ２ｙ６的系数为　 　 　 　 (用数字作答) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点突破􀅰互动探究 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＨＵ ＤＯＮＧ ＴＡＮ ＪＩＵ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 二项展开式的通项公式的应用———多维探究 角度 １　 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 例 １ (１) (２０２０􀅰新课标) ｘ２ ＋ ２ｘ æ è ç ö ø ÷ ６ 的展开 式中常数项是　 　 　 　 (用数字作答) . (２)(２０２３􀅰浙江杭州期中)在 ２ ｘ － １ ｘ æ è ç ö ø ÷ ｎ 的展 开式中只有第四项的二项式系数最大ꎬ则 ｘ２ 的系数 为　 　 　 　 . [听课记录] 　 　 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ２４１ 衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 角度 ２　 二项展开式中的含参问题 例 ２ (１)(２０２２􀅰上海黄浦区模拟)若 ａｘ２ ＋ １ ｘ æ è ç ö ø ÷