第8章 第8讲 第3课时 定点，定值、探索性问题-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第三课时　 定点、定值、探索性问题 考点突破􀅰互动探究 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＨＵ ＤＯＮＧ ＴＡＮ ＪＩＵ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 圆锥曲线的定值问题———师生共研 　 　 例 １ ( ２０２３ 􀅰湖北九师联盟联考) 已知 Ａ( － ２ ２ ꎬ０)ꎬＢ(２ ２ ꎬ０)ꎬ直线 ＰＡꎬＰＢ 的斜率之积为 － ３４ ꎬ记动点 Ｐ 的轨迹为曲线 Ｃ. (１)求 Ｃ 的方程ꎻ (２)直线 ｌ 与曲线 Ｃ 交于 ＭꎬＮ 两点ꎬＯ 为坐标原 点ꎬ若直线 ＯＭꎬＯＮ 的斜率之积为 － ３４ ꎬ证明:△ＭＯＮ 的面积为定值. [听课记录] 　 　 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 圆锥曲线中定值问题的特点及解法 (１)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固 定的值. (２)解法: ①从特殊入手ꎬ求出定值ꎬ再证明这个值与变量 无关ꎻ ②引进变量法:其解题流程为 变量 选择适当的动点坐标或动线中系数为 变量 函数 ↓ 把要证明为定值的量表示成上述变量 的函数 定值 ↓ 把得到的函数化简ꎬ消去变量得到定值 〔变式训练 １〕 　 (２０２３􀅰河南安阳调研)已知椭圆 Ｍ１: ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)的左、右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ꎬ面 积为 ４８ ７ 的正方形 ＡＢＣＤ 的顶点都在 Ｍ１ 上. (１)求 Ｍ１ 的方程ꎻ (２)已知 Ｐ 为椭圆 Ｍ２: ｘ２ ２ａ２ ＋ ｙ ２ ２ｂ２ ＝ １ 上一点ꎬ过点 Ｐ 作 Ｍ１ 的两条切线 ｌ１ 和 ｌ２ꎬ若 ｌ１ꎬｌ２ 的斜率分别为 ｋ１ꎬｋ２ꎬ求证:ｋ１ｋ２ 为定值. 考点二 圆锥曲线中的定点、定直线问题———师生共研 　 　 例 ２ (２０２２􀅰全国高考乙卷)已知椭圆 Ｅ 的 中心为坐标原点ꎬ对称轴为 ｘ 轴、ｙ 轴ꎬ且过 Ａ(０ꎬ － ２)ꎬ Ｂ ３２ ꎬ － １ æ è ç ö ø ÷两点. (１)求 Ｅ 的方程ꎻ (２)设过点 Ｐ(１ꎬ － ２)的直线交 Ｅ 于ＭꎬＮ 两点ꎬ过 Ｍ 且平行于 ｘ 轴的直线与线段 ＡＢ 交于点 Ｔꎬ点 Ｈ 满足 ＭＴ→ ＝ ＴＨ→. 证明:直线 ＨＮ 过定点. [听课记录] 　 　 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 例 ３ (２０２３􀅰河南信阳高级中学开学考)已知 椭圆 Ｃ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)的右焦点为 Ｆꎬ上顶点为 Ａꎬ直线 ＦＡ 的斜率为 － ３３ ꎬ且原点 Ｏ 到直线 ＦＡ 的距离 为 ３ ２ . (１)求椭圆 Ｃ 的标准方程ꎻ (２)设椭圆 Ｃ 的左、右顶点分别为 Ａ１ꎬＡ２ꎬ过点 Ｄ(４ꎬ０)的动直线 ｌ 交椭圆 Ｃ 于 ＰꎬＱ 两点ꎬ直线 Ａ１Ｐꎬ Ａ２Ｑ 相交于点 Ｅꎬ证明:点 Ｅ 在定直线上. [听课记录] 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ２１２ 高考一轮总复习·数学 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 求解定点、定直线问题常用的方法 (１)“特殊探路ꎬ一般证明”ꎬ即先通过特殊情况确定定 点ꎬ再转化为有方向、有目标的一般性证明. (２)“一般推理ꎬ特殊求解”ꎬ即先由题设条件得出曲线 的方程ꎬ再根据参数的任意性得到定点坐标. (３)求证直线过定点(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ常利用直线的点斜式方 程 ｙ － ｙ０ ＝ ｋ(ｘ － ｘ０)来证明. 〔变式训练 ２〕 　 (２０２０􀅰新课标 １ 卷)已知 Ａ、Ｂ 分别为椭圆 Ｅ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ２ ＝ １(ａ > １)的左、右顶点ꎬＧ 为 Ｅ 的上顶点ꎬＡＧ→􀅰 ＧＢ→ ＝８ꎬＰ 为直线 ｘ ＝ ６ 上的动点ꎬＰＡ 与 Ｅ 的另一交 点为 ＣꎬＰＢ 与 Ｅ 的另一交点为 Ｄ. (１)求 Ｅ 的方程ꎻ (２)证明:直线 ＣＤ 过定点. 考点三 圆锥曲线中的探索性问题———师生共研 　 　 例 ４ (２０２３􀅰江苏南京一中模拟)已知椭圆 Ｅ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ