第8章 第8讲 第2课时 最值，范围，证明问题-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 　 　 ＡＢ ＝ ４ꎬＣ１Ａ ＝ Ｃ１Ｂ ＝ ４ꎬＣ１Ｄ⊥ＡＢꎬ 所以 ＡＤ ＝ ＢＤ ＝ ２ꎬ所以 ｜Ｃ１Ｄ ｜ ＝ ｜Ｃ１Ｂ ｜ ２ － ｜ＤＢ ｜ ２ ＝ １６ － ４ ＝ ２ ３ ꎬ 所以 ＤＥ ＝ ４ － ２ ３ ꎬ 又因为杯深 ８ ｃｍꎬ即 ＯＤ ＝ ８ 故最小距离为 ＯＤ － ＤＥ ＝ ４ ＋ ２ ３ ②如图 １ 所示ꎬ建立直角坐标系ꎬ易知 Ｂ(２ꎬ８)ꎬ设 抛物线的方程为 ｙ ＝ｍｘ２ꎬ 所以将 Ｂ(２ꎬ８)代入得 ｍ ＝ ２ꎬ故抛物线方程为 ｙ ＝ ２ｘ２ꎬ 当杯内放入一个小的玻璃球ꎬ要使球触及酒杯底 部ꎬ如图 ２ꎬ 设玻璃球轴截面所在圆的方程为 ｘ２ ＋ ( ｙ － ｒ) ２ ＝ ｒ２ꎬ 依题意ꎬ需满足抛物线上的点到圆心的距离大于 等于半径恒成立ꎬ即 ｘ２ ＋ (２ｘ２ － ｒ) ２ ≥ｒꎬ 则有 ｘ２(４ｘ２ ＋ １ － ４ｒ)≥０ 恒成立ꎬ解得 １ － ４ｒ≥０ꎬ 可得 ０ < ｒ≤１４ . 所以玻璃球的半径的取值范围为 ０ꎬ １４ æ è ç ]. 〔变式训练 ２〕 (１)(２０２１􀅰广东佛山市模拟)古希腊数学家阿波罗尼 采用平面切割圆锥的方法来研究曲线ꎬ如图 １ꎬ用 一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥ꎬ当圆锥与 截面所成的角不同时ꎬ可以得到不同的截口曲线ꎬ 它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 图 ２ꎬ在底面半 径和高均为 １ 的圆锥中ꎬＡＢ、ＣＤ 是底面圆 Ｏ 的两 条互相垂直的直径ꎬＥ 是母线 ＰＢ 的中点ꎬＦ 是线段 ＥＯ 的中点ꎬ已知过 ＣＤ 与 Ｅ 的平面与圆锥侧面的 交线是以 Ｅ 为顶点的圆锥曲线的一部分ꎬ则该曲 线为　 　 　 　 ꎬＭꎬＮ 是该曲线上的两点且 ＭＮ∥ ＣＤꎬ若 ＭＮ 经过点 Ｆꎬ则 ｜ＭＮ ｜ ＝ 　 　 　 　 . (２)(２０２３􀅰广西柳州摸底、陕西宝鸡金台区质检)如 图 １ 所示ꎬ双曲线具有光学性质ꎻ从双曲线右焦点 发出的光线经过双曲线镜面反射ꎬ其反射光线的 反向延长线经过双曲线的左焦点. 若双曲线 Ｅ: ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的左、右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ 从 Ｆ２ 发出的光线经过图 ２ 中的 ＡꎬＢ 两点反射后ꎬ 分别经过点 Ｃ 和 Ｄꎬ且 ｃｏｓ ∠ＢＡＣ ＝ － ３５ ꎬＡＢ⊥ＢＤꎬ 则 Ｅ 的离心率为 ( 　 ) Ａ. ５２ Ｂ. １７ ３ Ｃ. １０ ２ Ｄ. ５ (３)(２０２２􀅰东北三省三校模拟)抛物线有如下光学性 质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后ꎬ沿平行 于抛物线对称轴的方向射出ꎻ反之ꎬ平行于抛物线 对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的 焦点. 已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ４ｘꎬ一条平行于 ｘ 轴的光 线 ｌ１ 从点 Ｐ(８ꎬ４)射入ꎬ经过 Ｃ 上的点 Ａ 反射后ꎬ 再经 Ｃ 上另一点 Ｂ 反射后ꎬ沿直线 ｌ２ 射出ꎬ则 ｜ＡＢ ｜ ＝ ( 　 ) Ａ. ７ Ｂ. １７４ Ｃ. ２１ ４ Ｄ. ２５ ４ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[５１] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二课时　 最值、范围、证明问题 考点突破􀅰互动探究 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＨＵ ＤＯＮＧ ＴＡＮ ＪＩＵ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 圆锥曲线中的最值问题———师生共研 　 　 例 １ (２０２３􀅰浙江名校协作体联盟联考)如 图ꎬ已知双曲线 Ｃ:ｘ ２ ２ － ｙ ２ ＝ １ꎬ经过点 Ｔ(１ꎬ１)且斜率为 ｋ 的直线 ｌ 与 Ｃ 交于 ＡꎬＢ 两点ꎬ与 Ｃ 的渐近线交于 Ｍꎬ Ｎ 两点(从左至右的顺序依次为 ＡꎬＭꎬＮꎬＢ)ꎬ其中 ｋ ∈ ０ꎬ ２２ æ è ç ö ø ÷. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ２０７ 衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 (１)若点 Ｔ 是 ＭＮ 的中点ꎬ求 ｋ 的值ꎻ (２)求△ＯＢＮ 面积的最小值. [听课记录] 　 　 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 例 ２ (２０２１􀅰江西五市九校协作体联考)已知 椭圆 Ｃ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ >