第8章 第8讲 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 则 ｜ＡＢ ｜ ＝ １ ＋ ｘ２０ ４ ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ ＝ １ ＋ ｘ２０ ４ (ｘ１ ＋ ｘ２) ２ － ４ｘ１ｘ２ ＝ (ｘ２０ ＋ ４)(ｘ２０ － ４ｙ０) ＝ｍꎬ 则 ｘ２０ － ４ｙ０ ＝ ｍ２ ｘ２０ ＋ ４ ꎬ 又∵ 点 Ｎ 到直线 ＡＢ 得方程的距离 ｄ ＝ ｜ ｘ２０ － ２ｙ０ － ２ｙ０ ｜ ｘ２０ ＋ ４ ＝ ｘ２０ － ４ｙ０ ｘ２０ ＋ ４ ꎬ ∴ Ｓ ＝ １２ 􀅰ｄ􀅰 ｜ＡＢ ｜ ＝ １ ２ 􀅰 ｘ２０ － ４ｙ０ ｘ２０ ＋ ４ 􀅰ｍ ＝ １２ ｍ３ (ｘ２０ ＋ ４) ３ ２ ≤ｍ ３ １６(当 ｘ０ ＝ ０ 时ꎬ有最大值)ꎬ 故△ＡＢＮ 的最大面积是ｍ ３ １６ . 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 利用导数工具解决抛物线的切线问题ꎬ使问题变 得巧妙而简单ꎬ若用判别式解决抛物线的切线问题ꎬ计 算量大ꎬ易出错. 　 　 注意:(１)过抛物线 Ｃ:ｘ２ ＝ ２ｐｙ 外一点 Ｐ( ｘ０ꎬｙ０) 引抛物线的两条切线ꎬ切点分别为 Ａ、Ｂꎬ则 ＡＢ:ｘ０ｘ ＝ ｐ(ｙ０ ＋ ｙ) . (２)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物 线相切的必要不充分条件ꎬ过抛物线外一点与抛物线 只有一个公共点的直线有 ０ 条或 ３ 条ꎻ过抛物线上一 点和抛物线只有一个公共点的直线有 ２ 条. 〔变式训练 ５〕 (１)已知抛物线 ｘ２ ＝ ８ｙꎬ过点 Ｐ(ｂꎬ４)作该抛物线的切 线 ＰＡꎬＰＢꎬ切点为 ＡꎬＢꎬ若直线 ＡＢ 恒过定点ꎬ则该 定点为 ( 　 ) Ａ. (４ꎬ０) Ｂ. (３ꎬ２) Ｃ. (０ꎬ － ４) Ｄ. (４ꎬ１) (２)(２０２２􀅰浙江名校协作体联考)如图ꎬ已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)上的点 Ｒ 的横坐标为 １ꎬ焦点为 Ｆꎬ且 ｜ＲＦ ｜ ＝ ２ꎬ过点 Ｐ( － ４ꎬ０)作抛物线 Ｃ 的两条 切线ꎬ切点分别为 Ａ、ＢꎬＤ 为线段 ＰＡ 上的动点ꎬ过 Ｄ 作抛物线的切线ꎬ切点为 Ｅ(异于点 ＡꎬＢ)ꎬ且直 线 ＤＥ 交线段 ＰＢ 于点 Ｈ. ①求抛物线 Ｃ 的方程ꎻ ②求证: ｜ＡＤ ｜ ＋ ｜ＢＨ ｜为定值. 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[５０] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第八讲　 圆锥曲线的综合问题 第一课时　 直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 直线与圆锥曲线的位置关系 (１)从几何角度看ꎬ可分为三类:无公共点ꎬ仅有 一个公共点及有两个相异的公共点. (２)从代数角度看ꎬ可通过将表示直线的方程代 入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况 来判断. 设直线 ｌ 的方程为 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ꎬ圆锥曲线方 程 ｆ(ｘꎬｙ) ＝ ０. 由 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ꎬ ｆ(ｘꎬｙ) ＝ ０{ 消元ꎬ如消去 ｙ 后得 ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ꎬ ①若 ａ ＝ ０ꎬ当圆锥曲线是双曲线时ꎬ直线 ｌ 与双曲 线的渐近线平行ꎻ当圆锥曲线是抛物线时ꎬ直线 ｌ 与抛 物线的对称轴平行(或重合) . ②若 ａ≠０ꎬ设 Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ. 当 Δ 　 　 ０ 时ꎬ直线和圆锥曲线相交于不同两点ꎻ 当 Δ 　 　 ０ 时ꎬ直线和圆锥曲线相切于一点ꎻ 当 Δ 　 　 ０ 时ꎬ直线和圆锥曲线没有公共点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ２０２ 高考一轮总复习·数学 知识点二　 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (１)斜率为 ｋ(ｋ 不为 ０)的直线与圆锥曲线交于两 点Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)、Ｐ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则所得弦长 ｜ Ｐ１Ｐ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 或 ｜Ｐ１Ｐ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 . (２)当斜率 ｋ 不存在时ꎬ可求出交点坐标ꎬ直接运 算(利用两点间距离公式) . 知识点三　 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. 在椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)中ꎬ以 Ｐ(ｘ０ꎬｙ０) 为中点的弦所在直线的斜率 ｋ ＝ － ｂ２ｘ０ ａ２ｙ０ ꎻ在双曲