第8章 第6讲 双曲线-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 ( － ２≤ｘ≤２)ꎬ显然当 ｘ ＝ － ２ 时ꎬＰＦ→􀅰ＰＡ→最大且最大 值为 ４. (２)依题意得所求即为椭圆 ｘ ２ ２５ ＋ ｙ２ １６ ＝ １ 上的点到 圆的圆心距离的最大值加上 １ꎬ 设椭圆 ｘ２ ２５ ＋ ｙ２ １６ ＝ １ 上的点为(５ｃｏｓ αꎬ４ｓｉｎ α)ꎬ 则椭圆 ｘ２ ２５ ＋ ｙ２ １６ ＝ １ 上的点到圆的圆心距离为 (５ｃｏｓ α) ２ ＋ (４ｓｉｎ α － ６) ２ ＝ ２５ｃｏｓ２ α ＋ １６ｓｉｎ２ α － ４８ｓｉｎ α ＋ ３６ ꎬ ＝ － ９ｓｉｎ２ α － ４８ｓｉｎ α ＋ ６１ ＝ － ９ ｓｉｎ α ＋ ８３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １２５ ∴ ｓｉｎ α ＝ － １ 时ꎬ椭圆ｘ ２ ２５ ＋ ｙ２ １６ ＝ １ 上的点到圆的圆 心距离的最大值为 １０ꎬ ∴ 椭圆ｘ ２ ２５ ＋ ｙ２ １６ ＝ １ 上的点到圆 ｘ ２ ＋ (ｙ － ６) ２ ＝ １ 上 的点的距离的最大值为 １１ꎬ故选 Ａ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 遇椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)上的点到定点或定直 线距离相关的最值问题ꎬ一般用三角换元法求解ꎬ即令 ｘ ＝ ａｓｉｎ θꎬ ｙ ＝ ｂｃｏｓ θꎬ将其化为三角函数最值问题 求解. 〔变式训练 ５〕 　 椭圆ｘ ２ １６ ＋ ｙ２ ４ ＝ １ 上的点到直线 ｘ ＋ ２ｙ － ２ ＝ ０ 的最 大距离是 ( 　 ) Ａ. ３ Ｂ. １１ Ｃ. ２ ２ Ｄ. １０ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[４８] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六讲　 双曲线 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 双曲线的定义 平面内与两个定点 Ｆ１、Ｆ２ 的　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 的点的轨迹叫做双曲 线. 这两个定点叫做双曲线的　 　 　 　 ꎬ两焦点间的距 离叫做双曲线的　 　 　 　 . 注:设集合 Ｐ ＝ {Ｍ ｜ ｜ ｜ ＭＦ１ ｜ － ｜ ＭＦ２ ｜ ｜ ＝ ２ａ}ꎬ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ｃꎬ其中 ａꎬｃ 为常数ꎬ且 ａ > ０ꎬｃ > ０ꎻ (１)当 ａ < ｃ 时ꎬＰ 点的轨迹是　 　 　 　 ꎻ (２)当 ａ ＝ ｃ 时ꎬＰ 点的轨迹是　 　 　 　 　 ꎻ (３)当 ａ > ｃ 时ꎬ集合 Ｐ 是　 　 　 　 . 知识点二　 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １ (ａ > ０ꎬｂ > ０) ｙ２ ａ２ － ｘ ２ ｂ２ ＝ １ (ａ > ０ꎬｂ > ０) 图形 性 质 范围 ｘ≥ａ 或 ｘ≤ － ａꎬｙ∈Ｒ ｘ∈Ｒꎬｙ≤ － ａ 或 ｙ≥ａ 对称性 对称轴:坐标轴　 　 　 对称中心:原点 顶点 顶点坐标: Ａ１ 　 　 　 　 ꎬ Ａ２ 　 　 　 　 顶点坐标: Ａ１ 　 　 　 　 ꎬ Ａ２ 　 　 　 　 渐近线 ｙ ＝ 　 　 　 　 ｙ ＝ 　 　 　 　 离心率 ｅ ＝ ｃａ ꎬｅ∈(１ꎬ ＋ ∞ )ꎬ其中 ｃ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２ 实虚轴 线段 Ａ１Ａ２ 叫做双曲线的 　 　 　 ꎬ它的长 ｜ Ａ１Ａ２ ｜ ＝ 　 　 　 ꎻ线段 Ｂ１Ｂ２ 叫做双曲线的　 　 　 ꎬ它的 长 ｜Ｂ１Ｂ２ ｜ ＝ 　 　 　 ꎻ　 　 　 叫做双曲线的　 　 　 　 　 ꎬｂ 叫做双曲线的　 　 　 　 　 ａ、ｂ、ｃ 的关系 ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２(ｃ > ａ > ０ꎬｃ > ｂ > ０) 归 纳 拓 展 　 双曲线中的几个常用结论 (１)焦点到渐近线的距离为 ｂ. (２)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 ｅ ＝ ２ ⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系) . (３)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 ２ｂ２ ａ (通径) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 １８９ 衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的 最小值为 ２ｂ２