学案25 探究课二次函数的最值问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 听 学案25 探究课二次函数的最值问题 记 昆学习任务 1.能根据二次函数的图象及性质求闭区间上的最值.（直观想象、数学运算) 2.会求含参数的二次函数的最值问题.（数学运算） 课堂活动 「方法总结」当二次函数图象开口向上时，自变 量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开 活动一求二次函数定轴、定区间上的 口向下时，则相反. 最值问题 活动二。“轴变区间定”问题 阄新知导学 阄新知导学 阅读教材第80页例4，完成下列问题. 问题2如果函数f(x)=x2左右平移得到的新 问题1例4是二次函数定轴定区间的最值问 函数在[一1,1]上的最值有什么变化？ 题，你能总结一下求解方法吗？ 新知应用 已知f(x)=3x2-12x+5,当f(x)的定义域为 下列区间时，求函数的最大值和最小值. ①[0,3]；②[-1,1]；③[3，+∞). 今新知应用 求函数f(x)=x2-2ax-1(a为常数)在[0,2]上 的最值. 1174 探究课二次函数的最值问题学案25 母题变式：已知函数f(x)=x2+(2a一1)x-3. 新知应用 听 若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1，求实数a 的值. 求函数f(x)=x2一2x十2在区间[t,t十1]上 的最小值g(t). 记 「方法总结」“轴变区间定”问题的解题思路 以一元二次函数图象开口向上、对称轴为直线 x=m为例，区间为[a,b],则有 [f (a),ma, (1)最小值：f(x)min=f(m),a≤m≤b, f(b),m≥b. 母题变式：已知二次函数y=x2-2x十4，x∈[0，m] 的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范 fa),m≥a+b 2 围是 (2)最大值：f(x)max f(6),m<a 「方法总结」“轴定区间变”问题的解题思路 2 分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据 当图象开口向下时，可用类似方法进行讨论 对称轴与区间的关系进行分类讨论. 活动三探究“轴定区间变”问题 课堂小结 阄新知导学 当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行！ 问题3由问题1和问题2，遇到轴定区间变的情 分类讨论.求二次函数f(x)=ax2十bx十 况，如何求最值？ c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几 种情况： 若x=一品在区间[m,]内，则最小值为 f-品)，最大值为fm)fm)中较大者： 2若x=二<m,则f(x)在区间[m,n]上单 调递增，最大值为f(n),最小值为f(m); (3)若x= 会>，则f)在区间0，m上单 调递减，最大值为f(m),最小值为f(n), 7510 人教A版数学必修第一册 课堂达标 7.求函数f(x)=x2-2ax十a十1(a>0)在[-4,4] 上的最大值 笔 1.函数f(x)=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值 记 域是 ( A.(-∞，5] B.[5,+∞) C.[-20,5] D.[4,5] 2.函数f(x)=-x2+2x-3在区间[0，+∞)上 ( ) A.有最大值-2 B.有最大值一3 C.有最小值-2 D.有最小值-3 3.函数f(x)=x十√元，x∈[0,4]的值域为 ( A.[0,3] B.[1,4] C.[0,6] D.[0,4] 4.已知函数f(x)=- )x2十x在区间[a,b]上 的最小值为3a,最大值为3b,则a+b=( A.-4 C.2 5.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[0，b],且该函数 的值域为[-1,3]，则b的值为 6.已知函数f(x)=√ax2十bx十c的定义域与值 域均为[0,4]，则a= 课后反思 117614.7 当1=一2×-4.9)=1.5时， 函数有最大值h=4X(-4.9)X18-14.7 ≈29 4×(-4.9) 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的 高度约为29m. 2.解：(1)由题意得，总成本为(20000十100x)元， 从而 f(x)={厂2x2+300x-2000,0≤x≤400， 1 160000-100x,x>400. 1 (2)当0≤x≤400时，f(x)=-2(x-300)2+25000. .当x=300时，f(x)max=25000; 当x>400时，函数f(x)=60000一100x单调递减， f(x)<60000一100×400=20000<25000 .当x=300时，f(x)max=25000. 即月产量为300台时，利润最大，最大利润为25000元 活动四函数单调性的综合应用 新知应用 1.解：由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2, 故f(1)=f(3), 由题意知函数f(x)在[2，十∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3)<f(4), 即f(2)<f(1)<f(4). 2格向多泽110号120 因为函数f(x)是定义在区间[一1,1]上的增函数， 且f(x-2)<f(1-x), 所以x-2<1-x,解得x<号，② 3 由①②得1≤x<2, 所以工的取值范国为[1，）】 课堂达标 1.C[由题图可知，此函数的最小值是f(一2)，最大值是2.门 2.C[.函数f(x)= 十2在[-1,2]上是减函数， 3 f2)≤fx)≤f(-10,又f2=是，f(-1)=8, <fz)3故选C] 3.A[:画数f)=-x十士在[一2，]上单明道流， 13 fx)m=f(-2)=22=2,故选A.] 4.C[当a>0时，函数y=f(x)的最大值为f(2)=2a+1,最 小值为f(1)=a十1，∴.(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2.当 a<0时，函数y=f(x)的最大值为f(1)=a十1，最小值为 f(2)=2a+1,.(a+1)-(2a十1)=2.解得a=-2,综上所 述，a=2或a=-2,选C.] 5.ABC[因为函数f(x)=x2一3x一4图象的对称轴为直线x 128 当x∈[0m]时f)的值域为[，-， 由于f(）=空所以m≥ 当y=-4时，x=0或x=3,因此m≤3， 梦上可得m的京位范国足[层] 35 结合选项知，m可取2,23] 6.11[当x∈[1,2]时，f(x)单调递增，其最大值为f(2)= 10;当x∈[一4,1)时，f(x)单调递减，其最大值为f(一4)= 11.故函数f(x)的最大值为11.] 74[因为西数f)-上在[1,6]上单羽递减， 11 所以函数f(x)在[1，b]上的最小值为fb)=方=4' 所以b=4.] 8.(-∞，-4)[由题意，知4a-3>5+6a,a<-4.] 9.解：(1)Hx1,x2∈[1,2]，且x1<x2, 则f(x)-fx2)=x-x:+- --) (x1-x2)(x1c2-4) x1x2 x1<x2.x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时， x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0. ∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减. (2)由(1)知x∈[1,2]时，f(x)的最小值为f(2), f2)=2+号-4fx)的最大值为fD, f(1)=1+4=5, f(x)在区间[1,2]上的最小值为4，最大值为5. 学案25探究课二次函数的最值问题 课堂活动 活动一求二次函数定轴、定区间上的 最值问题 新知导学 问题1提示：如果函数定义域为实数集R,这时只要根据抛物 线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值：如果函数 定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调 性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位 置（在区间内，在区间左侧，在区间右侧）来决定。 新知应用 解：作出f(x)=3x2一12x十5的图象，如图所示 (0,5) 2 -2 -4 1(3.-4) -61 -8(2,-7) ①由图可知，函数f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递 增.且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4. 故在区间[0,3]上，当x=2时，f(x)min=-7;当x-0时， f(x)mx=5. ②由图可知，函数f(x)在[-1,1]上单调递减，所以f(x)m f(1)=-4,f(x)mx=f(-1)=20. ③由图可知，函数f(x)在[3，十∞)上单调递增， 所以f(x)mn=f(3)=一4，无最大值. 活动二“轴变区间定”问题 新知导学 问题2提示：假设对称轴为直线x=a.当-l≤a<0时，最大 值为f(1),最小值为0；当a<-1时，最大值为f(1),最小值 为f(一1)；当0≤a<1时，最大值为f(一1)，最小值为0；当 a≥1时，最大值为f(-1),最小值为f(1). 新知应用 解：f(x)=(x一a)2一1一a2,对称轴为直线x=a (1)当a<0时，由图①可知，f(x)mn=f(0)=一1，f(x)mmx =f(2)=3-4a. 0 ① ② (2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)nin=f(a)=-1-a2,， f(x）mx=f(2)=3-4a. (3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)mn=f(a)=-1-a2, f(x)ax=f(0)=-1. 2 2 ⊙ ④ (4)当a>2时，由图④可知，f(x)mm=f(2)=3一4a, f(x)mx=f(0)=-1. -1,a<0, 综上，f(x)mn={-1-a2,0≤a≤2， 3-4a,a>2, f(x)x=-1,a≥1. /3-4a,a<1, 母题变式：解：函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线 x=12a 2 ①当120<生即a≥8时 2 f(x)mx=f(3)=3(2a-1)+6=1, 解得@=一日满足题毫： ②当20>1生甲a<-2, 2 f(x)mx=f(1)=2a-3=1,解得a=2,不满足题意. 综上所述，a=一3 1 活动三探究“轴定区间变”问题 新知导学 问题3提示：讨论轴与区间的位置关系， 新知应用 解：f(x)=x2-2.x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,对 称轴为直线x=1. =1 1 0+1 0111+1 x 0141x ① ③ 当t十1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区 间[t,t十1]上单调递减，所以最小值为f(t十1)=t2+1; 当t≤1≤t十1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值 为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t,t十1] 上单调递增，所以最小值为f(t)=t2一2t十2. 1t2+1,t<0, 综上可得，g(t)=1,0≤t≤1， t2-2t+2,t>1. 母题变式：[1,2][二次函数y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥ 3,由x2一2x十4=4，解得x=0或x=2, 画出二次函数y=x2一2x十4(x≥0)的图象如图所示，由图 可知，m的取值范围是[1,2]. 4 012元 课堂达标 1.C[f(x)=-(x十2)2十5，当x=-2时，函数有最大 值5；当x=3时，函数有最小值一20.故选C.] 2.A[因为f(x)=-x2+2x-3, 所以函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x =1,如图所示。 0 -3 fx)=-x2+2x-3 由此可得函数y=f(x)在[0,1]上单调递增，在[1，十∞)上 单调递减， 所以f(x)x=f(1)=一1+2-3=-2，无最小值. 故选A.] 291 3.C[函数f(x)=x十√x在区间[0,4]上单调递增， ∴f(x)∈[f(0),f(4)]=[0,6].] 4A[国为f)=-2:+z=-合-10+号≤号，图 象开口向下，对称轴为直线x=1, 函数f(x)在(-∞，1]上单调递增，在[1，十∞)上单调递减. 依题意3动≤号，所以≤行，所以了x)在区间[a,6]上单调 递增， 所以fa）=3a'即 -2a2+a=3a, 1 f(b)=3b, 厂2b2+6=36, 所以a6为方程分2+2x=0的两根， 所以a十6=一是=-4.故选A] 2 5.3[因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，当x=1时取 等号， 所以若x∈[0，b],f(x)的值域为[一1,3]，则b>1, 因为f(x)的图象是开口向上的抛物线， 所以f(x)在[0,1]上单调递减，在[1，b]上单调递增， 因为f(0)=0≠3， 所以f(b)=b2-2b=3,即b2-2b-3=0, 解得b=3或b=一1（舍去）.] 6.一4[由题意得y=ax2+bx+c的值城为[0,16]， 且ax2+十bx十c≥0的解集为[0,4幻，故函数图象开口向下，所 以a<0,即a.x2十bx十c=0的两根为0和4， b 所以0十4=一 c=0, 即b=一4a, 则y=a.x2-4ax=a(x-2)2-4a, 当x=2时，y=a(x-2)2一4a取得最大值16， 即-4a=16,解得a=-4.] 7.解：f(x)=(x-a)2+a-a2+1,当0<a<4时，f(x)在 [一4，a]上单调递减，在[a,4]上单调递增.又f(一4)=9a十 17,f(4)=17一7a,f(-4)>f(4),所以f(x)的最大值为 f(-4)=9a+17.当a≥4时，f(x)在[-4,4]上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(-4)=9a十17.综上，在[一4,4]上 函数的最大值为9a十17. 学案26奇偶性的概念 课堂活动 活动一理解奇、偶函数图象特征及概念 新知导学 问题1提示：两个函数的图象都关于y轴对称 问题2提示：当自变量x任取一对相反数时，相应的两个函数 值相等，即Hx∈R,f(一x)=f(x). 问题3提示：两个函数的图象都关于原点O(0,0)成中心对称 图形. 问题4提示：当自变量x任取一对相反数时，相应的函数值 f(x)也是一对相反数.即Hx∈R,f(-x)=一f(x). 新知生成 1.(1)Vx∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(2)y轴 2.(1)Hx∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)(2)原点 130 新知应用 1.解：(1)函数f(x)=x4的定义域为R. 因为Hx∈R,都有一x∈R, 且f(一x)=(-x)4=x4=f(x), 所以，函数f(x)=x4为偶函数. (2)函数f(x)=x5的定义域为R. 因为Hx∈R,都有一x∈R, 且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以，函数f(x)=x5为奇函数. (3)画数f(x)=x+是的定义域为红z≠01. 因为Hx∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 f-)=-x+2=-(+2)=-f0 所以，函教f)=x十上为青画数 (4)函数f(x)=三的定义域为{x|x≠0. 因为Hx∈{x|x≠0}，都有-x∈{xx≠0}， 1 且f-x)=-x)=之=f(x), 所以，函数了)之为妈画数。 (5)作函数的图象（图略），可以看到函数图象关于y轴对称， 所以函数是偶函数. 1-x≥0'得x2=1,即x=士1. (6)由 x2-1≥0， 因此函数的定义域为{一1,1}，因为Hx∈{一1,1}，都有一x ∈{-1,1}，且f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. (7)函数f(x)=(x一1)2的定义域是R. 因为f(1)=0,f(-1)=4, 所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1). 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f(x)=(x一1)2 既不是奇函数也不是偶函数 2.ABC[因为f(x)的定义域为R,又因为f(|一x|)= f(|x),所以y=f(x)是偶函数，故A是偶函数； 令F(x)=f(x),则F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x) 是偶函数，故B是偶函数； 令M(x)=x·f(x),则M(一x)=一x·f(一x)=x·f(x) =M(x),所以M(x)是偶函数，故C是偶函数； 令N(x)=f(x)十x,则N(-x)=f(-x)-x=一f(x) 一x=一[f(x)十x]=一N(x),所以N(x)是奇函数，故D 是奇函数. 故选ABC.] 活动二简单应用奇、偶函数的图象 新知导学 问题5提示：(1)是奇函数.(2)作这一部分关于原点对称的图 象.(3)先研究函数在y轴一侧的性质，再利用奇偶函数的对 称性研究在y轴另一侧的性质.