第8章 第5讲 椭圆-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 动点 Ｐ 到点 Ｏ(０ꎬ０)和 Ａ(２ꎬ０)的距离之比为 ３２ ꎬ则点 Ｐ 到 ｘ 轴的距离最大值为４ ３ . [解析] 　 (１)显然直线 ｌ 过圆上定点( － ４ꎬ０)ꎬ不 妨记为 Ａꎬ由 ＣＭ⊥ＡＢ 知ꎬ点 Ｍ 在以 ＡＣ 为直径的圆(ｘ ＋ ３) ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 上ꎬ故点 Ｍ 到直线 ３ｘ － ４ｙ － ６ ＝ ０ 的距离 最大值为 ｜ ３ × ( － ３) ＋ ４ × ０ － ６ ｜ ３２ ＋ ４２ ＋ １ ＝ ４. 故选 Ｂ. (２)由ＰＡ→􀅰ＰＢ→ ＝０ 知 ＰＡ⊥ＰＢꎬ即 Ｐ 在以 ＡＢ 为直 径的圆 Ｄ:ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４ 上ꎬ由题意可知圆 Ｃ 与圆 Ｄ 相交 或相切ꎬ∴ ｜ ｒ － ２ ｜≤ ４２ ＋ ３２ ≤ｒ ＋ ２ꎬ解得 ３≤ｒ≤７. 故 选 Ｂ. (３)设 Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ由题意知 ｘ ２ ＋ ｙ２ (ｘ － ２) ２ ＋ ｙ２ ＝ ３２ ꎬ整 理得(ｘ ＋ ６) ２ ＋ ｙ２ ＝ ４８ꎬ即点 Ｐ 在以( － ６ꎬ０)为圆心ꎬ ４ ３为半径的圆上ꎬ∴ Ｐ 到 ｘ 轴距离的最大值为 ４ ３ . [引申](１)若将本例(２)中的“ＰＡ→􀅰ＰＢ→ ＝ ０”改为 “ＰＡ→􀅰ＰＢ→ <０”ꎬ则 ｒ 的取值范围为　 　 　 　 . (２)若将本例(２)中的“ＰＡ→􀅰ＰＢ→ ＝ ０”改为“ ｜ＰＡ →｜ ｜ＰＢ→｜ ＝２”ꎬ则 ｒ 的取值范围为　 　 　 　 　 　 . 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ １. 根据数的结构特征ꎬ构造出与之相应的几何图形ꎬ并 利用图形的特性和规律ꎬ解决数的问题ꎬ以形助数ꎬ 使问题变得简单. ———数形结合 将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、 易解的问题. ———转化与化归 ２. 注意“隐圆”. 解题中若某些条件的几何意义是圆 (我们称之为“隐圆”)ꎬ则常将问题转化为点与圆、 直线与圆或圆与圆的问题处理. 发现“隐圆”的方法: (１)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆ꎻ (２)在平面上给定相异两点 ＡꎬＢꎬ设点 Ｐ 在同一平面 上且满足 ｜ＰＡ ｜ ｜ＰＢ ｜ ＝ λꎬ当 λ > ０ 且 λ≠１ 时ꎬ点 Ｐ 的 轨迹是个圆ꎬ这个圆称作阿波罗尼斯圆ꎻ (３)两定点 ＡꎬＢ 动点 Ｐ 满足ＰＡ→􀅰ＰＢ→ ＝ λꎬ确定隐圆ꎻ (４)两定点 ＡꎬＢ 动点 Ｐ 满足 ｜ ＰＡ ｜ ２ ＋ ｜ ＰＢ ｜ ２ 是定值ꎬ 确定隐圆. 〔变式训练 ４〕 (１)已知过点(０ꎬ１)的直线与圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４ 相交于 Ａ、Ｂ 两点ꎬ若ＯＡ→ ＋ ＯＢ→ ＝ ＯＰ→ꎬ则点 Ｐ 的轨迹方程是 ( 　 ) Ａ. ｘ２ ＋ ｙ － １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １ Ｂ. ｘ２ ＋ (ｙ － １) ２ ＝ １ Ｃ. ｘ２ ＋ ｙ － １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２ Ｄ. ｘ２ ＋ (ｙ － １) ２ ＝ ２ (２)已知点 Ａ 为圆 Ｃ:ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｘ － ２ｙ － ２ ＝ ０ 上一点ꎬ 点 Ｍ( － ２ － ３ｍꎬ４ｍ)ꎬＮ( － ２ － ３ｎꎬ４ｎ)ꎬｍ≠ｎꎬ若对 任意的点 Ａꎬ总存在点 ＭꎬＮꎬ使得∠ＭＡＮ≥９０°ꎬ则 ｜ｍ － ｎ ｜的取值范围为 ( 　 ) Ａ. [２ꎬ ＋ ∞ ) Ｂ. [１ꎬ２] Ｃ. ２５ ꎬ ＋ ∞[ ö ø ÷ Ｄ. ０ꎬ ２５ æ è ç ] 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[４７] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第五讲　 椭圆 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 椭圆的定义 平面内与两个定点 Ｆ１、Ｆ２ 的　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 的点的轨迹叫做椭圆ꎬ这两个定点叫 做椭圆的　 　 　 　 ꎬ两焦点间的距离叫做椭圆的 　 　 　 　 . 注:若集合 Ｐ ＝ {Ｍ ｜ ｜ＭＦ１ ｜ ＋ ｜ＭＦ２ ｜ ＝ ２ａ}ꎬ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ｃꎬ其中 ａ > ０ꎬｃ > ０ꎬ且 ａ、ｃ 为常数ꎬ则有如下结论: (１)若 ａ > ｃꎬ则集合 Ｐ 为　 　 　 　 ꎻ (２)若 ａ ＝ ｃꎬ则集合 Ｐ 为　 　 　 　 ꎻ (３)若 ａ < ｃꎬ则集合 Ｐ 为　 　 　 　 . 　 　 知识点二　 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ｘ２ ａ