第8章 第4讲 直线与圆，圆与圆的位置关系-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 名师讲坛􀅰素养提升 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＪＩＡＮＧ ＴＡＮ ＳＵ ＹＡＮＧ ＴＩ ＳＨＥＮＧ 对称思想在圆中的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 例 ７ (１)一条光线从点( － ２ꎬ － ３)射出ꎬ经 ｙ 轴反射后与圆(ｘ ＋ ３) ２ ＋ (ｙ － ２) ２ ＝ １ 相切ꎬ则反射光 线所在直线的斜率为 ( Ｄ ) Ａ. － ５３ 或 － ３ ５ Ｂ. － ３ ２ 或 － ２ ３ Ｃ. － ５４ 或 － ４ ５ Ｄ. － ４ ３ 或 － ３ ４ (２)已知 Ａ(０ꎬ２)ꎬ点 Ｐ 在直线 ｘ ＋ ｙ ＋ ２ ＝ ０ 上ꎬ点 Ｑ 在圆 Ｃ:ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ｘ － ２ｙ ＝ ０ 上ꎬ则 ｜ ＰＡ ｜ ＋ ｜ ＰＱ ｜的最 小值是 ２ ５　 . [解析] 　 (１)圆(ｘ ＋ ３) ２ ＋ (ｙ － ２) ２ ＝ １ 的圆心为 Ｃ( － ３ꎬ２)ꎬ半径 ｒ ＝ １. 如图ꎬ作出点 Ａ( － ２ꎬ － ３)关于 ｙ 轴的对称点Ｂ(２ꎬ － ３). 由题意可知ꎬ反射光线的反向 延长线一定经过点 Ｂ. 设反射光线的斜率为 ｋꎬ则反射 光线所在直线的方程为 ｙ － ( － ３) ＝ ｋ(ｘ － ２)ꎬ即 ｋｘ － ｙ － ２ｋ － ３ ＝ ０. 由 反 射 光 线 与 圆 相 切 可 得 ｜ ｋ( － ３) － ２ － ２ｋ － ３ ｜ １ ＋ ｋ２ ＝ １ꎬ即 ｜ ５ｋ ＋ ５ ｜ ＝ １ ＋ ｋ２ ꎬ整理 得１２ｋ２ ＋ ２５ｋ ＋ １２ ＝ ０ꎬ即(３ｋ ＋ ４)(４ｋ ＋ ３) ＝ ０ꎬ解得 ｋ ＝ － ４３ 或ｋ ＝ － ３ ４ ꎬ故选 Ｄ. (２)圆 Ｃ 的方程可化为(ｘ － ２) ２ ＋ (ｙ － １) ２ ＝ ５ꎬ其 圆心Ｃ(２ꎬ１) 关于直线 ｌ: ｘ ＋ ｙ ＋ ２ ＝ ０ 的对称点为 Ｃ′( － ３ꎬ － ４)ꎬ ｜ＰＡ ｜ ＋ ｜ＰＱ ｜ 的最小值为 ｜ ＡＣ′ ｜ － ５ ＝ ６２ ＋ ３２ － ５ ＝ ２ ５ . [引申]本例(１)中入射光线所在直线的方程为 　 　 　 　 　 　 　 . 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ １. 光的反射问题一般化为轴对称解决. ２. 求解形如 ｜ ＰＭ ｜ ＋ ｜ ＰＮ ｜ (其中 ＭꎬＮ 均为动点)且与 圆 Ｃ 有关的折线段的最值问题的基本思路: (１)“动化定”ꎬ把与圆上动点的距离转化为与圆心 的距离ꎻ (２)“曲化直”ꎬ即将折线段之和转化为同一直线上 的两线段之和ꎬ一般要通过对称性解决. ３. 定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心 的距离加(减)半径ꎻ圆上的点到定直线距离的最大 (小)值为圆心到直线的距离加(减)半径. 〔变式训练 ４〕 　 已知圆 Ｃ１:(ｘ － ２) ２ ＋ (ｙ － ３) ２ ＝ １ꎬ圆 Ｃ２:(ｘ － ３) ２ ＋ (ｙ － ４) ２ ＝ ９ꎬＭꎬＮ 分别是圆 Ｃ１ꎬＣ２ 上的动点ꎬＰ 为 ｘ 轴上的动点ꎬ则 ｜ＰＭ ｜ ＋ ｜ＰＮ ｜的最小值为 ( 　 ) Ａ. ５ ２ － ４ Ｂ. １７ － １ Ｃ. ６ － ２ ２ Ｄ. １７ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[４６] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四讲　 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 直线与圆的位置关系 设直线 ｌ:Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０(Ａ２ ＋ Ｂ２≠０)ꎬ 圆:(ｘ － ａ) ２ ＋ (ｙ － ｂ) ２ ＝ ｒ２( ｒ > ０)ꎬ ｄ ＝ ｜Ａａ ＋ Ｂｂ ＋ Ｃ ｜ Ａ２ ＋ Ｂ２ 为圆心(ａꎬｂ)到直线 ｌ 的距离ꎬ 联立直线和圆的方程ꎬ消元后得到的一元二次方程的 判别式为 Δ. 　 　 　 　 方法 位置关系　 　 　 　 几何法 代数法 相交 ｄ 　 　 ｒ Δ 　 　 ０ 相切 ｄ 　 　 ｒ Δ 　 　 ０ 相离 ｄ 　 　 ｒ Δ 　 　 ０ 　 　 知识点二　 圆与圆的位置关系 设圆 Ｏ１:(ｘ － ａ１) ２ ＋ (ｙ － ｂ１) ２ ＝ ｒ２１( ｒ１ > ０)ꎬ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 １７９ 衡中学案·2024 年度