第8章 第3讲 圆的方程-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 直线系方程的常见类型 (１)过定点 Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)的直线系方程是 ｙ － ｙ０ ＝ ｋ(ｘ － ｘ０)(ｋ 是参数ꎬ直线系中未包括直线 ｘ ＝ ｘ０)ꎻ (２)平行于已知直线 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ 的直线系方程是 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ λ ＝ ０(λ 是参数且 λ≠Ｃ)ꎻ (３)垂直于已知直线 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ 的直线系方程是 Ｂｘ － Ａｙ ＋ λ ＝ ０(λ 是参数)ꎻ (４)过两条已知直线 ｌ１:Ａ１ｘ ＋ Ｂ１ｙ ＋ Ｃ１ ＝ ０ 和 ｌ２:Ａ２ｘ ＋ Ｂ２ｙ ＋ Ｃ２ ＝ ０ 的交点的直线系方程是 Ａ１ｘ ＋ Ｂ１ｙ ＋ Ｃ１ ＋ λ(Ａ２ｘ ＋ Ｂ２ｙ ＋ Ｃ２) ＝ ０(λ∈Ｒꎬ但不包括 ｌ２). 〔变式训练 ４〕 　 与直线 ｌ:５ｘ － １２ｙ ＋ ６ ＝ ０ 平行且到 ｌ 的距离为 ２ 的 直线的方程是　 　 　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[４５] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三讲　 圆的方程 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 圆的定义及方程 定义 平面内到　 　 　 　 的距离等于　 　 　 　 的点 的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (ｘ － ａ) ２ ＋ ( ｙ － ｂ) ２ ＝ ｒ２( ｒ > ０) 圆心 Ｃ:　 　 　 　 半径:　 　 　 　 一般 方程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０(Ｄ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ > ０) 圆心: － Ｄ２ ꎬ － Ｅ ２ æ è ç ö ø ÷ 半径:ｒ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 知识点二　 点与圆的位置关系 １. 圆的标准方程 ( ｘ － ａ) ２ ＋ ( ｙ － ｂ) ２ ＝ ｒ２ꎬ点 Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ (１)(ｘ０ － ａ) ２ ＋ (ｙ０ － ｂ) ２ 　 　 ｒ２⇔点在圆上ꎻ (２)(ｘ０ － ａ) ２ ＋ (ｙ０ － ｂ) ２ 　 　 ｒ２⇔点在圆外ꎻ (３)(ｘ０ － ａ) ２ ＋ (ｙ０ － ｂ) ２ 　 　 ｒ２⇔点在圆内. ２. 圆的一般方程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ꎬ点 Ｍ(ｘ０ꎬｙ０) . (１)ｘ２０ ＋ ｙ２０ ＋ Ｄｘ０ ＋ Ｅｙ０ ＋ Ｆ ＝ ０⇔点在圆上ꎻ (２)ｘ２０ ＋ ｙ２０ ＋ Ｄｘ０ ＋ Ｅｙ０ ＋ Ｆ 　 　 ０⇔点在圆外ꎻ (３)ｘ２０ ＋ ｙ２０ ＋ Ｄｘ０ ＋ Ｅｙ０ ＋ Ｆ 　 　 ０⇔点在圆内. 归 纳 拓 展 １. 圆心在过切点且垂直于切线的直线上. ２. 圆心在任一弦的垂直平分线上. ３. 两圆相切时ꎬ切点与两圆心三点共线. ４. 以 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)为直径的两端点的圆的方程 是(ｘ － ｘ１)(ｘ － ｘ２) ＋ (ｙ － ｙ１)(ｙ － ｙ２) ＝ ０. ５. 二元二次方程 Ａｘ２ ＋ Ｂｘｙ ＋ Ｃｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 表示 圆的条件: Ａ ＝ Ｃ≠０ꎬ Ｂ ＝ ０ꎬ Ｄ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ > ０. ì î í ïï ï 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)确定圆的几何要素是圆心与半径. ( 　 ) (２)圆心为(１ꎬ － １)且过原点的圆的方程为(ｘ ＋ １) ２ ＋ (ｙ － １) ２ ＝ ２. ( 　 ) (３)若 Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ － ４)ꎬ则以为直径的圆的方程 为(ｘ － １) ２ ＋ (ｙ ＋ ２) ２ ＝ ５. ( 　 ) (４)方程(ｘ ＋ ａ) ２ ＋ (ｙ ＋ ｂ) ２ ＝ ｔ２( ｔ∈Ｒ)表示圆心为 (ａꎬｂ)ꎬ半径为 ｔ 的圆. ( 　 ) (５)已知方程 ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｍｘ ＋ ４ｙ ＋ ５ ＝ ０ 表示圆ꎬ则 ｍ 的取值范围是(１ꎬ ＋ ∞ ) . ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选择性必修 １Ｐ８８Ｔ４)圆 Ｃ 的圆心在 ｘ 轴上ꎬ并且过 点Ａ( －１ꎬ１)和 Ｂ(１ꎬ３)ꎬ则圆 Ｃ 的方程为 　 　 　 　 　 　 . ３. (选择性必修 １Ｐ９８Ｔ２(１))以点(２ꎬ － １)为圆心且与 直线３ｘ － ４ｙ ＋ ５ ＝ ０ 相切的圆的方程为 ( 　 ) Ａ. (ｘ － ２) ２ ＋ (ｙ ＋ １) ２ ＝ ３ Ｂ. (ｘ ＋ ２) ２ ＋ (ｙ － １) ２ ＝ ３ Ｃ. (ｘ － ２) ２ ＋ (ｙ