第8章 第1讲 直线的倾斜角，斜率与直线的方程-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第八章　 解析几何 第一讲　 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 直线的倾斜角 (１)定义:当直线 ｌ 与 ｘ 轴相交时ꎬ我们取 ｘ 轴作 为基准ꎬ把 ｘ 轴　 　 　 　 与直线 ｌ 　 　 　 　 方向之间所 成的角 α 叫做直线 ｌ 的倾斜角. 当直线 ｌ 与 ｘ 轴平行或 重合时ꎬ规定它的倾斜角为　 　 　 　 . (２)倾斜角的取值范围为　 　 　 　 . 知识点二　 直线的斜率 (１)定义:一条直线的倾斜角 α 的 　 　 　 　 叫做 这条直线的斜率ꎬ斜率常用小写字母 ｋ 表示ꎬ即 ｋ ＝ 　 　 　 　 ꎬ倾斜角是 ９０°的直线斜率不存在. (２)过两点的直线的斜率公式 经过两点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２ (ｘ２ꎬｙ２) (其中 ｘ１≠ｘ２)的 直线的斜率公式为 ｋ ＝ 　 　 　 　 . 知识点三　 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　 　 　 　 　 　 不含直线 ｘ ＝ ｘ０ 斜截式 　 　 　 　 不含垂直于 ｘ 轴的直线 　 　 　 ｙ － ｙ１ ｙ２ － ｙ１ ＝ ｘ － ｘ１ ｘ２ － ｘ１ 不含垂直于坐标轴的直线 　 　 　 ｘａ ＋ ｙ ｂ ＝ １ 不含垂直于 ｘ 轴、平行于 ｘ 轴和　 　 　 　 　 直线 一般式 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ 其中要求　 　 　 　 适用于平面直角坐标系内的 所有直线 归 纳 拓 展 １. 直线的倾斜角 α 和斜率 ｋ 之间的对应关系: α ０° ０° < α < ９０° ９０° ９０° < α < １８０° ｋ ０ ｋ > ０ 且 α 越大ꎬ ｋ 就越大 不存在 ｋ < ０ 且 α 越 大ꎬｋ 就越大 ２.特殊直线的方程 (１)过点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)垂直于 ｘ 轴的直线方程为 ｘ ＝ ｘ１ꎻ (２)过点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)垂直于 ｙ 轴的直线方程为 ｙ ＝ ｙ１ꎻ (３)过原点的直线的方程为 ｘ ＝ｍｙ. ３.谨记以下几点: (１)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值ꎬ它可正ꎬ 可负ꎬ也可以是零ꎬ而“距离”是一个非负数. 求 与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊 情况是否满足题意. (２)当直线与 ｘ 轴不垂直时ꎬ可设直线的方程为 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂꎻ当不确定直线的斜率是否存在时ꎬ可设直 线的方程为 ｘ ＝ｍｙ ＋ ｂ. (３)ＡꎬＢꎬＣ 三点共线⇔ｋＡＢ ＝ ｋＡＣ(或 ｋＡＢ ＝ ｋＢＣꎬ或 ｋＡＣ ＝ ｋＢＣ) . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜 率. ( 　 ) (２)直线的倾斜角越大ꎬ其斜率就越大. ( 　 ) (３)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等. ( 　 ) (４)经过定点 Ａ(０ꎬｂ)的直线都可以用方程 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 表示. ( 　 ) (５)不经过原点的直线都可以用 ｘａ ＋ ｙ ｂ ＝ １ 表示. ( 　 ) (６)经过任意两个不同的点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)的 直线都可以用方程 ( ｙ － ｙ１ ) ( ｘ２ － ｘ１ ) ＝ ( ｘ － ｘ１)(ｙ２ － ｙ１)表示. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选择性必修 １Ｐ５８Ｔ７)经过两点 Ａ(４ꎬ２ｙ ＋ １)ꎬＢ(２ꎬ － ３)的直线的倾斜角为３π４ ꎬ则 ｙ ＝ ( 　 ) Ａ. － １ Ｂ. － ３ Ｃ. ０ Ｄ. ２ ３. (选择性必修 １Ｐ６７Ｔ７)过点 Ｐ(２ꎬ３)且在两坐标轴上 截距相等的直线方程为　 　 　 　 　 　 　 . 题组三　 走向高考 ４. (２０２２􀅰北京高考真题)若直线 ２ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ 是圆(ｘ － ａ) ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 的一条对称轴ꎬ则 ａ ＝ ( 　 ) Ａ. １２ Ｂ. － １ ２ Ｃ. １ Ｄ. － １ ５. (２０２１􀅰山东高考真题)如右图ꎬ 直线 ｌ 的方程是 ( 　 ) Ａ. ３ ｘ － ｙ － ３ ＝ ０ Ｂ. ３ ｘ － ２ｙ － ３ ＝ ０ Ｃ. ３ ｘ － ３ｙ － １ ＝ ０ Ｄ. ｘ － ３ ｙ － １ ＝ ０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �