3.1.1椭圆及其标准方程学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

金海谷郡学生课堂导学提纲 (高一数学)编号：必修第一册 5-3-1 3.1.1　第1课时　椭圆及其标准方程 班级 ： 姓名： 小组： 【学习目标】 1、理解并掌握椭圆的定义. 2、掌握椭圆的标准方程的推导. 3、会求简单的椭圆的标准方程(重点). 一、情境导入 情境1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 情境2：若把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 二、新知探究 思考1：保持两定点间的距离不变，加大绳长，动点的轨迹还是椭圆吗？ 思考2：保持两定点间的距离不变，缩短绳长，使它等于或小于两定点间的距离，还能画出椭圆吗？ 1、 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距. 2、 椭圆的标准方程推导 思考3：求圆的标准方程的步骤是什么？ 思考4：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 以焦点在x轴为例： 1 ：以焦点所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 2 ：任取椭圆上一点M(x，y)，|MF1|＋|MF2|＝定长，设定长为 ，令焦距 |F1F2| = ，即F1 (－c，0)，F2 ( c，0). 3 ：|MF1|＋|MF2|＝2a （a>c>0），|MF1|= ，|MF2|＝ . 所以 + =2a 4 ： = 2a − 两边同时平方： = 4−4a + 整理得：− = a 两边同时平方并整理得：＝ 两边同时除以 ，得： = 1 由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0. 令，则椭圆的标准方程为： = 1 (a>b>0) 3、 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 三、及时自测 1、设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2、(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝ (a>0，a为常数)，则点P的轨迹可能是（ ） A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 3、已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P(x，y) 满足|PA|＋|PB|＝1，则动点P的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在 四、小组展示 题型一　求椭圆的标准方程 例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； （2）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； （3）经过点P,Q . 题型二　利用椭圆定义求轨迹方程 例2：如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程． 五、当堂检测 1、点P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) A.13 B.1 C.7 D.5 2、 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为 . 3、 若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 . 4、已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP中点Q的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$