第7章 第6讲 空间向量的应用-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第六讲　 空间向量的应用 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 两个重要的向量 (１)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合) 的非零向量ꎬ一条直线的方向向量有　 　 　 　 个. (２)平面的法向量 直线 ｌ⊥平面 αꎬ取直线 ｌ 的方向向量ꎬ则这个向量 叫做平面 α 的法向量. 显然一个平面的法向量有 　 　 　 　 个ꎬ它们是共线向量. 知识点二　 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 ｌ１ꎬ ｌ２ 的方向向 量分别为 ｎ１ꎬｎ２ ｌ１∥ｌ２ ｎ１∥ｎ２⇒ｎ１ ＝ λｎ２ ｌ１⊥ｌ２ ｎ１⊥ｎ２⇔ｎ１􀅰ｎ２ ＝ ０ 直线 ｌ 的方向向量为 ｎꎬ平面 α 的法向量 为 ｍ ｌ∥α ｎ⊥ｍ⇔ｍ􀅰ｎ ＝ ０ ｌ⊥α ｎ∥ｍ⇔ｎ ＝ λｍ 平面 α、 β 的法向量 分别为 ｎ、ｍ α∥β ｎ∥ｍ⇔ｎ ＝ λｍ α⊥β ｎ⊥ｍ⇔ｎ􀅰ｍ ＝ ０ 　 　 知识点三　 两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 ａꎬｂ 的方向向量分别为 ａꎬｂꎬ其夹 角为 θꎬ则 ｃｏｓ φ ＝ ｜ ｃｏｓ θ ｜ ＝ 　 　 　 　 (其中 φ 为异面直 线 ａꎬｂ 所成的角) . 知识点四　 直线和平面所成角的求法 如图所示ꎬ设直线 ｌ 的方向向量为 ｅꎬ平面 α 的法 向量为 ｎꎬ直线 ｌ 与平面 α 所成的角为 φꎬ向量 ｅ 与 ｎ 的夹角为 θꎬ则有 ｓｉｎ φ ＝ ｜ ｃｏｓ θ ｜ ＝ 　 　 　 　 . 知识点五　 求二面角的大小 (１)如图①ꎬＡＢꎬＣＤ 分别是二面角 α － ｌ － β 的两 个面内与棱 ｌ 垂直的直线ꎬ则二面角的大小 θ ＝ 　 　 　 　 . (２)如图②③ꎬｎ１ꎬｎ２ 分别是二面角 α － ｌ － β 的两 个半平面 αꎬβ 的法向量ꎬ则二面角的大小 θ 满足 ｜ ｃｏｓ θ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎬ二面角的平面角大小是向量 ｎ１ 与 ｎ２ 的夹角(或其补角) . 知识点六　 利用空间向量求距离 (１)点到平面的距离 如图所示ꎬ已知 ＡＢ 为平面 α 的一条 斜线段ꎬｎ 为平面 α 的法向量ꎬ则 Ｂ 到平 面 α 的距离为 ｄ ＝ ｜ＡＢ →􀅰ｎ ｜ ｜ｎ ｜ . (２)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解. 注意体积法在求点到平面距离时的应用. 归 纳 拓 展 １. 直线的方向向量的确定: ｌ 是空间一直线ꎬＡꎬＢ 是 ｌ 上任意两点ꎬ则ＡＢ→及与ＡＢ→平行的非零向量均为直线 ｌ 的方向向量. ２. 平面的法向量的确定:设 ａꎬｂ 是平面 α 内两不共线 向量ꎬｎ 为平面 α 的法向量ꎬ则求法向量的方程组 为 ｎ􀅰ａ ＝ ０ꎬ ｎ􀅰ｂ ＝ ０.{ ３. 若二面角 Ａ － ＢＣ － Ｄ 的大小为 αꎬ平面 ＡＢＣ 内的直 线 ｌ 与平面 ＢＣＤ 所成角为 βꎬ则 α≥βꎬ当 ｌ⊥ＢＣ 时ꎬ 取等号. ４. ａꎬｂ 为平面 α 的基向量ꎬ若ＡＢ→ ＝ λａ ＋ μｂ(λꎬμ∈Ｒ)ꎬ ＡＢ⊄αꎬ则 ＡＢ∥α. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成 的角. ( 　 ) (２)平面的单位法向量是唯一确定的. ( 　 ) (３)若两平面的法向量平行ꎬ则两平面平行. ( 　 ) (４)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是 直线与平面所成的角. ( 　 ) (５)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成 的角. ( 　 ) (６)若空间向量 ａ 平行于平面 αꎬ则 ａ 所在直线与平 面 ａ 平行. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选择性必修 １Ｐ２０例 ２)如图所示ꎬ在正方体 ＡＢＣＤ － 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 １６３ 衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＯ 是底面正方形 ＡＢＣＤ 的中心ꎬＭ 是 Ｄ１Ｄ 的中点ꎬＮ 是 Ａ１Ｂ１ 的中点ꎬ则直线 Ｏ