第7章 第5讲 空间向量及其运算-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第五讲　 空间向量及其运算 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 空间向量的有关概念 １.空间向量的有关概念 (１)空间向量:在空间中ꎬ具有　 　 　 　 和　 　 　 　 的量叫做空间向量ꎬ其大小叫做向量的 　 　 　 　 　 或 　 　 　 　 . (２)零向量:长度为　 　 　 　 的向量ꎬ记作 ０ꎻ 零向量与任意向量共线ꎬ０∥ａꎻ 单位向量:模为　 　 　 　 的向量ꎻ 相反向量:与向量 ａ 长度相等而方向相反的向量ꎬ 叫做 ａ 的相反向量ꎬ记作 － ａꎻ 相等向量:方向　 　 　 　 且模　 　 　 　 的向量. (３)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在 的直线　 　 　 　 或　 　 　 　 ꎬ则这些向量叫做　 　 　 　 或　 　 　 　 　 . (４)共面向量:平行于同一 　 　 　 　 的向量叫做 共面向量. ２.空间向量中的有关定理 (１)共线向量定理:对空间任意两个向量 ａꎬｂ(ｂ≠ ０)ꎬａ∥ｂ⇔存在唯一确定的 λ∈Ｒꎬ使 ａ ＝ λｂ. (２)共面向量定理:若两个向量 ａꎬｂ 不共线ꎬ则向 量 ｐ 与向量 ａꎬｂ 共面⇔存在唯一的有序实数对(ｘꎬｙ)ꎬ 使 ｐ ＝ ｘａ ＋ ｙｂ. (３)空间向量基本定理:如果三个向量 ａꎬｂꎬｃ 不共 面ꎬ那么对空间任一向量 ｐꎬ存在唯一的有序实数组{ｘꎬ ｙꎬｚ}使得 ｐ ＝ ｘａ ＋ ｙｂ ＋ ｚｃ.其中{ａꎬｂꎬｃ}叫做空间的一个 基底. ３.空间向量的数量积及运算律 (１)已知两个非零向量 ａꎬｂꎬ在空间任取一点 Ｏꎬ 作ＯＡ→ ＝ ａꎬＯＢ→ ＝ ｂꎬ则∠ＡＯＢ 叫做向量 ａꎬｂ 的夹角ꎬ记作 　 　 　 　 ꎬ其范围是 　 　 　 　 ꎬ若‹ ａꎬｂ› ＝ π２ ꎬ则称 ａ 与 ｂ 　 　 　 　 　 ꎬ记作 ａ⊥ｂ. 向量 ａꎬｂ 的数量积 ａ􀅰ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 . (２)空间向量数量积的运算律 结合律:(λａ)􀅰ｂ ＝ λ(ａ􀅰ｂ)ꎻ 交换律:ａ􀅰ｂ ＝ ｂ􀅰ａꎻ 分配律:ａ􀅰(ｂ ＋ ｃ) ＝ 　 　 　 　 　 . 知识点二　 空间向量的坐标表示及其应用 设 ａ ＝ (ａ１ꎬａ２ꎬａ３)ꎬｂ ＝ (ｂ１ꎬｂ２ꎬｂ３) . 向量表示 坐标表示 数量积 ａ􀅰ｂ 　 　 　 　 　 　 　 　 共线 ａ ＝ λｂ(ｂ≠０) 　 　 　 　 　 　 　 　 垂直 ａ􀅰ｂ ＝ ０ (ａ≠０ꎬｂ≠０) 　 　 　 　 　 　 　 　 模 ｜ ａ ｜ 　 　 　 　 　 　 　 　 夹角 ‹ａꎬｂ› (ａ≠０ꎬｂ≠０) ｃｏｓ‹ａꎬｂ› ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 空间两点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)、Ｐ２(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)之间的距离 为 ｜Ｐ１Ｐ２ ｜ ＝ (ｘ１ － ｘ２) ２ ＋ (ｙ１ － ｙ２) ２ ＋ ( ｚ１ － ｚ２) ２ . 归 纳 拓 展 １. 向量三点共线定理 在平面中 ＡꎬＢꎬＣ 三点共线的充要条件是:ＯＡ→ ＝ ｘ ＯＢ→ ＋ ｙ ＯＣ→(其中 ｘ ＋ ｙ ＝ １)ꎬＯ 为平面内任意一点. ２. 向量四点共面定理 在空间中 ＰꎬＡꎬＢꎬＣ 四点共面的充要条件是:ＯＰ→ ＝ ｘ ＯＡ→ ＋ ｙ ＯＢ→ ＋ ｚ ＯＣ→(其中 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ １)ꎬＯ 为空间中 任意一点. ３. 设异面直线 ａ、ｂ 的方向向量分别为 ａ、ｂ 所成的角为 θꎬ则 ｃｏｓ θ ＝ ｜ ａ􀅰ｂ ｜｜ ａ ｜􀅰 ｜ ｂ ｜ . ４. ａ􀅰ｂ > ０⇔ａ、ｂ 的夹角为锐角或 ０ 角. 即“ａ􀅰ｂ > ０” 是“ａ、ｂ 的夹角为锐角”的必要不充分条件. ５. ｜ ａ ｜ ２ ＝ ａ􀅰ａꎻ ｜ ａ􀅰ｂ ｜≤ ｜ ａ ｜􀅰 ｜ ｂ ｜ . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)空间中任意两个非零向量 ａꎬｂ 共面. ( 　 ) (２)在向量的数量积运算中(ａ􀅰ｂ)􀅰ｃ ＝ ａ􀅰(ｂ􀅰 ｃ) . ( 　 ) (３)对于非零向量 ｂꎬ由 ａ􀅰ｂ ＝ ｂ􀅰ｃꎬ则 ａ ＝ ｃ. ( 　 ) (４)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围 相同. ( 　 ) (５)若 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 是空间任意四点ꎬ则有ＡＢ→ ＋ ＢＣ→ ＋ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋