第7章 第4讲 空间直线，平面的垂直-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 平行中的探索性问题 (１)对命题条件的探索常采用以下三种方法: ①先猜后证ꎬ即先观察与尝试给出条件再证明ꎻ ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的 条件ꎬ再证明其充分性ꎻ ③把几何问题转化为代数问题ꎬ探索命题成立的 条件. (２)对命题结论的探索常采用以下方法: 首先假设结论存在ꎬ然后在这个假设下进行推理 论证ꎬ如果通过推理得到了合乎情理的结论ꎬ就肯 定假设ꎬ如果得到了矛盾的结论ꎬ就否定假设. 〔变式训练 ４〕 　 (２０２２􀅰安徽淮南模拟 (节选)) 如图①ꎬ四边形 ＡＢＣＤ是等腰梯形ꎬＡＢ∥ＣＤꎬＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １２ ＣＤ ＝ ２ꎬＥ 是 ＣＤ 的中点ꎬ将△ＤＡＥ 沿 ＡＥ 折起ꎬ构成如图②所 示的四棱锥 Ｄ′ － ＡＢＣＥ. 设 Ｍ 是 ＡＢ 的中点ꎬ在线段 Ｄ′Ｅ 是否存在一点 Ｎꎬ使 得 ＭＮ∥平面 Ｄ′ＢＣ? 如果存在ꎬ求出点 Ｎ 的位置ꎻ 如果不存在ꎬ请说明理由. 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[４０] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四讲　 空间直线、平面的垂直 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 直线与平面垂直 (１)直线与平面垂直 ①定义:若直线 ｌ 与平面 α 内的 　 　 　 　 一条直 线都垂直ꎬ则直线 ｌ 与平面 α 垂直. ②判定与性质 判定定理 性质定理 文字 语言 如果一条直线与一个平 面内的两条相交直线垂 直ꎬ那么该直线与此平 面垂直 (线线垂直 ⇒ 线面垂 直) 垂直于同一平面的 两直线平行 图形 语言 符号 语言 ａ⊂αꎬ ｂ⊂αꎬ 　 　 　 ꎬ 　 　 　 ꎬ 　 　 　 ü þ ý ï ï ï ï ï ï ⇒ｌ⊥α ａ⊥αꎬ ｂ⊥α }⇒　 　 　 　 　 过一点垂直于已知平面的直线　 　 　 　 　 　 . 过一点作垂直于已知平面的直线ꎬ则该点于垂足 间的线段ꎬ叫做这个点到该平面的垂线段ꎬ　 　 　 　 　 　 　 叫做这个点到该平面的距离. 一条直线与一个平面平行时ꎬ这条直线上 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬ叫做这条直线到这个平面 的距离. 如果两个平面平行ꎬ那么其中一个平面内的任意 一点到另一个平面的距离都相等ꎬ我们把它叫做这两 个平行平面间的距离. (２)直线与平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的　 　 　 　 ꎬ叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线与平面平行或直线在平面内ꎬ直线与平面 所成角为　 　 　 　 ꎬ若直线与平面垂直ꎬ直线与平面所 成角为　 　 　 　 　 . ②线面角 θ 的范围:θ∈ ０ꎬπ２[ ]. 知识点二　 平面与平面垂直 (１)二面角的有关概念 ①二面角:从一条直线出发的 　 　 　 　 　 　 所组 成的图形叫做二面角. ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为 端点ꎬ在两个半平面内分别作与棱　 　 　 　 的射线ꎬ则 两射线所成的角叫做二面角的平面角. ③二面角 θ 的范围:θ∈[０ꎬπ] . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 １５３ 衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 (２)平面与平面垂直 ①定义:两个平面相交ꎬ如果它们所成的二面角是 　 　 　 　 　 ꎬ就说这两个平面互相垂直. ②判定与性质 判定定理 性质定理 文字 语言 如果一个平面经过 另一个平面的垂 线ꎬ那么这两个平 面垂直. (线面垂 直⇒面面垂直) 两个平面垂直ꎬ如果一 个平面内有一直线垂直 于这两个平面的交线ꎬ 那么这条直线与另一个 平面垂直. (面面垂直 ⇒线面垂直) 图形 语言 符号 语言 ａ⊂αꎬ ａ⊥β } ⇒ 　 　 　 　 α⊥βꎬ ａ⊂αꎬ α∩β ＝ ｂꎬ 　 　 　 　 ü þ ý ï ï ï ï ⇒　 　 　 　 归 纳 拓 展 １. 若两条平行线中的一条垂直于一个平面ꎬ则另一条 也垂直于这个平面. ２. 若一条直线垂直于一个平面ꎬ则它垂直于这个平面 内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方 法) . ３. 垂直于同一条直线的两个平面平行. ４. 一条直线垂直于两平行平