第7章 第2讲 空间点，直线，平面之间的位置关系-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 当该四棱锥的体积最大时ꎬ其高为 ( Ｃ ) Ａ. １３ Ｂ. １ ２ Ｃ. ３ ３ Ｄ. ２ ２ [解析] 　 (１)如图ꎬ将矩形 ＢＣＣ１Ｂ１ 与直角△ＡＢＣ 展开到同一平面. 因为 ＡＢ ＝ ２ ２ ꎬ且△ＡＢＣ 是以 Ｃ 为直 角的等腰三角形ꎬ所以 ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ２. 当 ＡꎬＭꎬＤ 三点共 线时ꎬＡＭ ＋ ＭＤ 取得最小值ꎬ且最小值为 ＡＣ２１ ＋ Ｃ１Ｄ２ ＝ ２６ . (２)设该四棱锥底面为四边形 ＡＢＣＤꎬ四边形 ＡＢ￣ ＣＤ 所在小圆半径为 ｒꎬ设四边形 ＡＢＣＤ 对角线夹角 为 αꎬ 则 ＳＡＢＣＤ ＝ １ ２ 􀅰ＡＣ􀅰ＢＤ􀅰ｓｉｎ α≤ １ ２ 􀅰ＡＣ􀅰ＢＤ≤ １ ２ 􀅰２ｒ􀅰２ｒ ＝ ２ｒ２ (当且仅当四边形 ＡＢＣＤ 为正方形时等 号成立) 即当四棱锥的顶点 Ｏ 到底面 ＡＢＣＤ 所在小圆距离 一定时ꎬ底面 ＡＢＣＤ 面积最大值为 ２ｒ２ꎬ又 ｒ２ ＋ ｈ２ ＝ １ 则 ＶＯ － ＡＢＣＤ ＝ １ ３ 􀅰 ２ｒ ２ 􀅰 ｈ ＝ ２３ ｒ ２􀅰ｒ２􀅰２ｈ２ ≤ ２ ３ ｒ２ ＋ ｒ２ ＋ ２ｈ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ３２７ ꎬ 当且仅当 ｒ２ ＝ ２ｈ２ 即 ｈ ＝ ３３ 时等号成立ꎬ故选 Ｃ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 立体几何中最值问题的解法 (１)观察图形特征ꎬ确定取得最值的条件ꎬ计算最值. (２)设出未知量建立函数关系ꎬ利用基本不等式或导 数计算最值. (３)几何体表面两点间距离(路程)最小问题ꎬ“展平” 处理. 〔变式训练 ６〕 (１)某圆柱的轴截面是周长为 ４ 的矩形ꎬ则该圆柱的侧 面积的最大值是 ( 　 ) Ａ. π２ Ｂ. π Ｃ. ３π ２ Ｄ. ２π (２) (２０２２􀅰陕西安康质检) 设直四棱柱 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的每个顶点都在球 Ｏ 的球面上ꎬ底面 ＡＢＣＤ 为平行四边形ꎬＡＢ ＝ ２ＡＤꎬ侧面 ＡＤＤ１Ａ１ 的面 积为 ６ꎬ则球 Ｏ 表面积的最小值为 ( 　 ) Ａ. １０ ５π Ｂ. ２４π Ｃ. ２０π Ｄ. １２ ５π 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[３８] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二讲　 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 平面的基本性质 基本事实 １. 　 　 　 　 的三点确定一个平面. 基本事实 ２. 如果一条直线上的 　 　 　 　 在一个 平面内ꎬ那么这条直线在这个平面内. 基本事实 ３. 如果两个不重合的平面有一个公共 点ꎬ那么它们有且　 　 　 　 　 　 　 的公共直线. 推论 １. 经过一条直线和　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬ有且 只有一个平面. 推论 ２. 经过两条 　 　 　 　 直线ꎬ有且只有一个 平面. 推论 ３. 经过两条 　 　 　 　 直线ꎬ有且只有一个 平面. 　 　 知识点二　 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行 关系 图形语言 符号语言 ａ∥ｂ ａ∥α α∥β 相交 关系 图形语言 符号语言 ａ∩ｂ ＝ Ａ ａ∩α ＝ Ａ α∩β ＝ ｌ 独有 关系 图形语言 符号语言 ａꎬｂ 是异面直线 ａ⊂α 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 １４４ 高考一轮总复习·数学 　 　 知识点三　 异面直线所成角、基本事实 ４ 及等角 定理 (１)异面直线所成的角 ①定义:设 ａꎬｂ 是两条异面直线ꎬ经过空间中任一 点 Ｏ 作直线 ａ′∥ａꎬｂ′∥ｂꎬ把 ａ′与 ｂ′所成的　 　 　 　 　 叫做异面直线 ａ 与 ｂ 所成的角. ②范围: ０ꎬπ２ æ è ç ]. (２)基本事实 ４. (平行公理) 平行于同一条直线的两条直线　 　 　 　 . (３)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行ꎬ那么这 两个角　 　 　 　 . 归 纳 拓 展 　 　 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内 不经过该点的直线是异面直线. 用符号可表示为: 若 ｌ⊂αꎬＡ∉αꎬＢ∈αꎬＢ∉ｌ