第6章 第4讲 数列求和-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第四讲　 数列求和 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 公式法求和 (１)如果一个数列是等差数列或等比数列ꎬ则求 和时直接利用等差、等比数列的前 ｎ 项和公式. (２)等差数列的前 ｎ 项和公式:Ｓｎ ＝ ｎ(ａ１ ＋ ａｎ) ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 . (３)等比数列的前 ｎ 项和公式: Ｓｎ ＝ ｎａ１ꎬｑ ＝ １ꎬ ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎬｑ≠１. ì î í ïï ï 注意等比数列公比 ｑ 的取值情况ꎬ要分 ｑ ＝ １ꎬｑ ≠１. 知识点二　 分组求和法 一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成ꎬ则求和时可用分组求和法ꎬ分别求和后 相加减. 如若一个数列的奇数项成等差数列ꎬ偶数项成 等比数列ꎬ则可用分组求和法求其前 ｎ 项和. 知识点三　 倒序相加法 如果一个数列{ａｎ}的前 ｎ 项中与首末两端等“距 离”的两项的和相等且等于同一个常数ꎬ那么求这个数 列的前 ｎ 项和可用倒序相加法ꎬ如等差数列的前 ｎ 项 和公式即是用此法推导的. 知识点四　 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等 比数列的对应项之积构成的ꎬ那么这个数列的前 ｎ 项 和即可用此法来求ꎬ如等比数列的前 ｎ 项和公式就是 用此法推导的. 知识点五　 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差ꎬ在求和时中间的一 些项可以相互抵消ꎬ从而求得其和. 知识点六　 并项求和法 在一个数列的前 ｎ 项和中ꎬ可两两合并求解ꎬ则称 之 为 并 项 求 和. 如 { ａｎ } 是 等 差 数 列ꎬ 求 数 列 {( － １) ｎａｎ}的前 ｎ 项和ꎬ可用并项求和法求解. 形如 ａｎ ＝ ( － １) ｎ ｆ(ｎ)类型ꎬ可考虑采用两项合并 求解. 归 纳 拓 展 １. 常见的裂项公式 (１) １ｎ(ｎ ＋ １) ＝ １ ｎ － １ ｎ ＋ １ꎻ (２) １ｎ(ｎ ＋ ｋ) ＝ １ ｋ １ ｎ － １ ｎ ＋ ｋ æ è ç ö ø ÷ꎻ (３) １ ｎ２ － １ ＝ １２ １ ｎ － １ － １ ｎ ＋ １ æ è ç ö ø ÷ꎻ (４) １(２ｎ － １)(２ｎ ＋ １) ＝ １ ２ １ ２ｎ － １ － １ ２ｎ ＋ １ æ è ç ö ø ÷ꎻ (５) １ ｎ ＋ ｎ ＋ １ ＝ ｎ ＋ １ － ｎꎻ １ ｎ ＋ ｎ ＋ ｋ ＝ １ｋ ( ｎ ＋ ｋ － ｎ)ꎻ (６) １ｎ(ｎ ＋１)(ｎ ＋２) ＝ １ ２ １ ｎ(ｎ ＋１) － １ (ｎ ＋１)(ｎ ＋２)[ ]. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)如果数列{ａｎ}为等比数列ꎬ且公比不等于 １ꎬ则 其前 ｎ 项和为 Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎ ＋ １ １ － ｑ . ( 　 ) (２)ｓｉｎ２１° ＋ ｓｉｎ２２° ＋ ｓｉｎ２３° ＋􀆺 ＋ ｓｉｎ２８７° ＋ ｓｉｎ２８８° ＋ ｓｉｎ２８９°可用倒序相加求和. ( 　 ) (３)求 Ｓｎ ＝ ａ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋ 􀆺 ＋ ｎａｎ 时只要把上式等 号两边同时乘以 ａ 即可根据错位相减法求得. ( 　 ) (４)当 ｎ≥２ 时ꎬ １ ｎ２ － １ ＝ １２ １ ｎ － １ － １ ｎ ＋ １ æ è ç ö ø ÷. ( 　 ) (５)求数列 １２ｎ ＋２ｎ ＋３{ }的前 ｎ 项和可用分组求和. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选修 ２Ｐ５１Ｔ２ 改编)在数列{ａｎ}中ꎬａｎ ＝ １ ｎ(ｎ ＋ １)ꎬ若 {ａｎ}的前 ｎ 项和为 ２ ０２２ ２ ０２３ꎬ则项数 ｎ ＝ ( 　 ) Ａ. ２ ０２１ Ｂ. ２ ０２２ Ｃ. ２ ０２３ Ｄ. ２ ０２４ ３. (选修 ２Ｐ５６ Ｔ１１ 改编)数列{ａｎ}的通项公式是 ａｎ ＝ １ ｎ ＋ ｎ ＋ １ ꎬ前 ｎ 项和为 ９ꎬ则 ｎ ＝ ( 　 ) Ａ. ９ Ｂ. ９９ Ｃ. １０ Ｄ. １００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �