第6章 第3讲 等比数列及其前n项和-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 ａ１ １３ｎ ２ ＋ １４１３ａ１ｎ ＝ － ａ１ １３(ｎ － ７) ２ ＋ ４９１３ａ１ꎬ ∵ ａ１ > ０ꎬ∴ － ａ１ １３ < ０ꎬ∴ 当 ｎ ＝ ７ 时ꎬＳｎ 最大. 解法四:由解法一可知ꎬｄ ＝ － ２１３ａ１ . ∵ ａ１ > ０ꎬ∴ ｄ < ０. 令 ａｎ≥０ꎬ ａｎ ＋ １≤０ { 得 ａ１ ＋ (ｎ － １) － ２ １３ａ１ æ è ç ö ø ÷≥０ꎬ ａ１ ＋ ｎ － ２ １３ａ１ æ è ç ö ø ÷≤０ꎬ ì î í ï ï ïï 解得 １３ ２ ≤ｎ≤ １５ ２ . ∵ ｎ∈Ｎ∗ꎬ∴ 当 ｎ ＝ ７ 时ꎬＳｎ 最大. (２)∵ Ｓｎ ＝ ｄ ２ ｎ ２ ＋ ａ１ － ｄ ２ æ è ç ö ø ÷ｎ 有最大值ꎬ∴ ｄ < ０ꎬ 又 ａ１１ ａ１０ < － １ꎬ∴ ａ１０ > ０ꎬａ１１ < ０ꎬ∴ ａ１０ ＋ ａ１１ < ０ꎬ即 ａ１ ＋ ａ２０ < ０ꎬ∴ Ｓ２０ ＝ １０(ａ１ ＋ ａ２０ ) < ０ꎬ又 Ｓ１９ ＝ １９(ａ１ ＋ ａ１９) ２ ＝ １９ａ１０ > ０ꎬ∴ 使Ｓｎ > ０ 的 ｎ 的最大值为 １９. 故选 Ｂ. [引申]①本例(１)中若将“ Ｓ５ ＝ Ｓ９ ”改为“ Ｓ５ ＝ Ｓ１０”ꎬ则当 Ｓｎ 取最大值时 ｎ ＝ 　 　 　 　 ꎻ ②本例(１) 中ꎬ使 Ｓｎ < ０ 的 ｎ 的最小值为 　 　 　 　 ꎻ ③本例(２)中ꎬ使 Ｓｎ 取最大值时 ｎ ＝ 　 　 　 　 . 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 求等差数列{ａｎ}的前 ｎ 项和 Ｓｎ 的最值的方法: 二次函 数法 — 当公差 ｄ≠０ 时ꎬ将 Ｓｎ 看作关于 ｎ 的二次 函数ꎬ运用配方法ꎬ借助函数的单调性及数 形结合ꎬ使问题得解 通项定 号法 — 求使 ａｎ≥０(或 ａｎ≤０)成立的最大 ｎ 值即 可得 Ｓｎ 的最大(或最小)值 不等 式法 — 借助 Ｓｎ 最大时ꎬ有 Ｓｎ≥Ｓｎ － １ꎬ Ｓｎ≥Ｓｎ ＋ １ { ( ｎ≥２ꎬ ｎ∈ Ｎ∗)ꎬ解此不等式组确定 ｎ 的范围ꎬ进而确定 ｎ 的值和对应 Ｓｎ 的值(即 Ｓｎ 的最值) 〔变式训练 ３〕 (１)(２０２３􀅰长春市模拟)等差数列{ａｎ}中ꎬ已知 ｜ ａ６ ｜ ＝ ｜ ａ１１ ｜ ꎬ且公差 ｄ > ０ꎬ则其前 ｎ 项和取最小值时的 ｎ 的值为 ( 　 ) Ａ. ６ Ｂ. ７ Ｃ. ８ Ｄ. ９ (２)在等差数列{ａｎ}中ꎬａ１ ＝ ７ꎬ公差为 ｄꎬ前 ｎ 项和为 Ｓｎꎬ当且仅当 ｎ ＝ ８ 时 Ｓｎ 取得最大值ꎬ则 ｄ 的取值 范围为　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[３５] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三讲　 等比数列及其前 ｎ 项和 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 等比数列的概念 (１)等比数列的定义 如果一个数列　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬ那么这个数列 叫做等比数列ꎬ这个常数叫做等比数列的　 　 　 　 ꎬ通 常用字母　 　 　 　 表示. 符号语言:　 　 　 　 　 (ｎ∈Ｎ∗ꎬｑ 为非零常数) . (２)等比中项:如果 ａꎬＧꎬｂ 成等比数列ꎬ那么　 　 　 　 叫做 ａ 与 ｂ 的等比中项. 即:Ｇ 是 ａ 与 ｂ 的等比中 项⇔ａꎬＧꎬｂ 成等比数列⇒Ｇ２ ＝ 　 　 　 　 . 注意:任意两数的等差中项都唯一存在ꎻ但只有两 个数满足 ａｂ > ０ 时ꎬａ、ｂ 才有等比中项ꎬ且有互为相反 数的两个. 知识点二　 等比数列的有关公式 (１)通项公式:ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 . (２)前 ｎ 项和公式: Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 ꎬｑ ＝ １ꎬ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬｑ≠１.{ 知识点三　 等比数列的主要性质 设数列{ａｎ}是等比数列ꎬＳｎ 是其前 ｎ 项和. (１)若 ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑꎬ则 ａｍａｎ ＝ ａｐａｑꎬ其中 ｍꎬｎꎬｐꎬｑ ∈Ｎ∗ꎬ特别地ꎬ若 ２ｓ ＝ ｐ ＋ ｒꎬ则 ａｐａｒ ＝ ａ２ｓ ꎬ其中 ｐꎬ ｓꎬ ｒ ∈Ｎ∗ . (２)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列ꎬ 即 ａｋꎬａｋ ＋ ｍꎬａｋ ＋ ２ｍꎬ􀆺仍是等比数列ꎬ公比为 ｑｍ(ｋꎬｍ∈ Ｎ∗) .