第6章 第2讲 等差数列及其前n项和-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第二讲　 等差数列及其前 ｎ 项和 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 等差数列的有关概念 (１)等差数列的定义 如果一个数列从第 　 　 　 　 项起ꎬ每一项与它的 前一项的差等于　 　 　 　 　 　 ꎬ那么这个数列就叫做 等差数列ꎬ这个常数叫做等差数列的　 　 　 　 ꎬ通常用 字母　 　 　 　 表示ꎬ定义的表达式为　 　 　 　 　 　 . (２)等差中项 如果 ａꎬＡꎬｂ 成等差数列ꎬ 那么　 　 　 　 叫做 ａ 与 ｂ 的等差中项且　 　 　 　 　 　 . (３)通项公式 如果等差数列{ａｎ}的首项为 ａ１ꎬ公差为 ｄꎬ那么通 项公式为 ａｎ ＝ 　 　 　 　 ＝ ａｍ ＋ (ｎ －ｍ)ｄ(ｎꎬｍ∈Ｎ∗) . (４)前 ｎ 项和公式:Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 . 知识点二　 等差数列的性质 已知数列{ａｎ}是等差数列ꎬＳｎ 是其前 ｎ 项和. (１)若 ｍ１ ＋ｍ２ ＋􀆺 ＋ｍｋ ＝ ｎ１ ＋ ｎ２ ＋ 􀆺 ＋ ｎｋꎬ则 ａｍ１ ＋ ａｍ２ ＋􀆺 ＋ ａｍｋ ＝ ａｎ１ ＋ ａｎ２ ＋ 􀆺 ＋ ａｎｋ . 特别地ꎬ若 ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑꎬ则 ａｍ ＋ ａｎ ＝ 　 　 　 　 . (２)ａｍꎬａｍ ＋ ｋꎬａｍ ＋ ２ｋꎬａｍ ＋ ３ｋꎬ􀆺仍是等差数列ꎬ公差 为　 　 　 　 . (３)数列 ＳｍꎬＳ２ｍ － ＳｍꎬＳ３ｍ － Ｓ２ｍꎬ􀆺也是等差数列. (４) Ｓｎｎ{ }为等差数列. (５)ｎ 为奇数时ꎬＳｎ ＝ ｎａ中ꎬＳ奇 ＝ 　 　 　 　 ａ中ꎬ Ｓ偶 ＝ 　 　 　 　 ａ中ꎬ∴ Ｓ奇 － Ｓ偶 ＝ 　 　 　 　 . ｎ 为偶数时ꎬＳ偶 － Ｓ奇 ＝ ｎｄ ２ . (６)数列{ａｎ}ꎬ{ｂｎ}是公差分别为 ｄ１ꎬｄ２ 的等差数 列ꎬ则数列{ｐａｎ}ꎬ{ａｎ ＋ ｐ}ꎬ{ ｐａｎ ＋ ｑｂｎ}都是等差数列 (ｐꎬｑ 都是常数)ꎬ且公差分别为 ｐｄ１ꎬｄ１ꎬｐｄ１ ＋ ｑｄ２ . 归 纳 拓 展 １. 等差数列前 ｎ 项和公式的推证方法倒序相加法. ２. ｄ ＝ ａｎ － ａｍ ｎ －ｍ . ３. 等差数列与函数的关系 (１)通项公式:当公差 ｄ≠０ 时ꎬ等差数列的通项公式 ａｎ ＝ ａ１ ＋ (ｎ － １) ｄ ＝ ｄｎ ＋ ａ１ － ｄ 是关于 ｎ 的一次函 数ꎬ且斜率为公差 ｄ. 若公差 ｄ > ０ꎬ则为递增数列ꎬ若 公差 ｄ < ０ꎬ则为递减数列. (２ ) 前 ｎ 项 和: 当 公 差 ｄ ≠ ０ 时ꎬ Ｓｎ ＝ ｄ ２ ｎ ２ ＋ ａ１ － ｄ ２ æ è ç ö ø ÷ｎ 是关于 ｎ 的二次函数且常数项为 ０. 显然 当 ｄ < ０ 时ꎬＳｎ 有最大值ꎬｄ > ０ 时ꎬＳｎ 有最小值. ４. 在遇到三个数成等差数列时ꎬ可设其为 ａ － ｄꎬａꎬａ ＋ ｄꎻ四个数成等差数列时ꎬ可设为 ａ － ３ｄꎬａ － ｄꎬａ ＋ ｄꎬ ａ ＋ ３ｄ 或 ａ － ｄꎬａꎬａ ＋ ｄꎬａ ＋ ２ｄ. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的 差都是常数ꎬ则这个数列是等差数列. ( 　 ) (２)等差数列{ａｎ}的单调性是由公差 ｄ 决定的. ( 　 ) (３)等差数列的前 ｎ 项和公式是常数项为 ０ 的二 次函数 . ( 　 ) (４)若{ａｎ}ꎬ{ｂｎ}都是等差数列ꎬ则数列{ｐａｎ ＋ ｑｂｎ} 也是等差数列. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选修 ２Ｐ１５例 ２ 改编)已知等差数列 － ８ꎬ － ３ꎬ２ꎬ７ꎬ 􀆺ꎬ则该数列的第 １００ 项为　 　 　 　 . ３. (选修 ２Ｐ２４Ｔ１ 改编)已知{ａｎ}是等差数列ꎬ其前 ｎ 项 和为 Ｓｎꎬ若 ａ３ ＝ ２ꎬ且 Ｓ６ ＝ ３０ꎬ则 Ｓ９ ＝ 　 　 　 　 . ４. (选修 ２Ｐ２５Ｔ１０ 改编)设 ａ≠ｂꎬ且数列 ａꎬｘ１ꎬｘ２ꎬｂ 和 ａꎬｙ１ꎬｙ２ꎬｙ３ꎬｙ４ꎬｂ 分别是等差数列ꎬ则 ｙ４ － ｙ３ ｘ２ － ｘ１ ＝ ( 　 ) Ａ. ３５ Ｂ. ４ ５ Ｃ. ３ ４ Ｄ. ５ ３ 题组三　 走向高考 ５. (２０２２􀅰全国乙卷)记 Ｓｎ 为等差数列{ａｎ}的前 ｎ 项 和. 若 ２Ｓ３ ＝ ３Ｓ２ ＋ ６ꎬ则公差 ｄ ＝ 　 　 　 　 . ６. (２０１９􀅰北京ꎬ１０ꎬ５ 分)设等差数列{ａｎ}的前 ｎ 项和 为 Ｓｎ . 若 ａ２ ＝ － ３ꎬＳ５ ＝ － １０ꎬ则 ａ５