第3章 第3讲 第2课时 导数与不等式恒(能)成立-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 考点三 放缩后构造函数证明不等式 　 　 例 ３ 已知 ｘ∈(０ꎬ１)ꎬ求证:ｘ２ － １ｘ < ｌｎ ｘ ｅｘ . [听课记录] 　 　 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 某些不等式ꎬ直接构造函数不易求其最值ꎬ可以适 当地利用熟知的函数不等式 ｅｘ≥ｘ ＋ １ꎬ１ － １ｘ ≤ｌｎ ｘ≤ ｘ － １等进行放缩ꎬ有利于简化后续导数式的求解或函 数值正负的判断ꎻ也可以利用局部函数的有界性进行 放缩ꎬ然后再构造函数进行证明. 〔变式训练 ３〕 　 证明:ｅｘ ｌｎ ｘ ＋ ２ｅ ｘ － １ ｘ > １. 考点四 双变量不等式的证明 　 　 例 ４ (２０２１􀅰新高考全国Ⅰ卷)已知函数ｆ(ｘ) ＝ ｘ(１ － ｌｎ ｘ) . (１)讨论 ｆ(ｘ)的单调性ꎻ (２)设 ａꎬｂ 为两个不相等的正数ꎬ且 ｂｌｎ ａ － ａｌｎ ｂ ＝ ａ － ｂꎬ证明:２ < １ａ ＋ １ ｂ < ｅ. [听课记录] 　 　 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 证明双变量函数不等式的常见思路 １. 将双变量中的一个看作变量ꎬ另一个看作常数构造 一个含参数的辅助函数证明不等式. ２. 整体换元. 对于齐次式往往可将双变量整体换元ꎬ化 为一元不等式. ３. 若双变量的函数不等式具有对称性ꎬ并且可以将两 个变量分离开ꎬ分离之后的函数结构具有相似性ꎬ从 而构造函数利用单调性证明. 〔变式训练 ４〕 　 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘｅ － ｘ . (１)求函数 ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ (２)若 ｘ１≠ｘ２ 且 ｆ(ｘ１) ＝ ｆ(ｘ２)ꎬ求证:ｘ１ ＋ ｘ２ > ２. 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[１９] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二课时　 导数与不等式恒(能)成立 考点突破􀅰互动探究 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＨＵ ＤＯＮＧ ＴＡＮ ＪＩＵ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 分离参数法 　 　 例 １ (２０２２􀅰石家庄模拟)已知函数 ｆ( ｘ) ＝ ａｘｅｘ － (ａ ＋ １)(２ｘ － １) . (１)若 ａ ＝ １ꎬ求函数 ｆ(ｘ)的图象在点(０ꎬｆ(０))处 的切线方程ꎻ (２)当 ｘ > ０ 时ꎬ函数 ｆ(ｘ)≥０ 恒成立ꎬ求实数 ａ 的 取值范围. [听课记录] 　 　 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 分离参数法解决恒成立问题的策略 (１)分离变量. 构造函数ꎬ直接把问题转化为函数的最 值问题. (２)ａ≥ｆ(ｘ)恒成立⇔ａ≥ｆ(ｘ)ｍａｘꎻ ａ≤ｆ(ｘ)恒成立⇔ａ≤ｆ(ｘ)ｍｉｎ . 〔变式训练 １〕 　 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ １ ＋ ｌｎ ｘｘ . (１)若函数 ｆ(ｘ)在区间 ａꎬａ ＋ １２ æ è ç ö ø ÷上存在极值ꎬ求正 实数 ａ 的取值范围ꎻ (２)如果当 ｘ≥１ 时ꎬ不等式 ｆ(ｘ) － ｋｘ ＋ １≥０ 恒成立ꎬ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０７４ 高考一轮总复习·数学 求实数 ｋ 的取值范围. 考点二 分类讨论法 　 　 例 ２ (２０２３􀅰绵阳市诊断性考试)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ (２ｍ ＋ ２)ｘ － ４ｌｎ ｘ － １２ ｍｘ ２(ｍ∈Ｒ) . (１)若函数 ｇ( ｘ) ＝ ｆ( ｘ) ＋ １２ ｍｘ ２ 有两个零点ꎬ求 ｍ 的取值范围ꎻ (２)若 ｆ(ｘ)≥０ꎬ求 ｍ 的取值范围. 　 　 [听课记录] 　 　 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 对于不适合分离参数的不等式ꎬ常常将参数看作 常数直接构造函数ꎬ常用分类讨论法ꎬ利用导数研究单 调性、最值ꎬ从而得出参数范围. 〔变式训练 ２〕 　 (２０２０􀅰新高考全国Ⅰ卷)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｅｘ － １ － ｌｎ ｘ ＋ ｌｎ ａ. (１)当 ａ ＝ ｅ 时ꎬ求曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的 切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ (２)若 ｆ(ｘ)≥１ꎬ求 ａ 的取值范围. 考点三 不等式能成立问题 　 　 例 ３ 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ (ｘ － １)ｅｘ ＋ １ ＋ ｍｘ２ꎬ当 ０ <ｍ≤６ 时ꎬｇ(ｘ) ＝