第3章 第3讲 第1课时 导数与不等式的证明-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 　 　 所以当 ｘ ＝ ２０ 时ꎬｆ(ｘ)取得最小值. 答:(１)桥 ＡＢ 的长度为 １２０ 米ꎻ (２)当 Ｏ′Ｅ 为 ２０ 米时ꎬ桥墩 ＣＤ 和 ＥＦ 的总造价最 低. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 　 　 提醒:在利用导数解决实际问题时ꎬ若在定义域内 只有一个极值ꎬ则这个值即为最优解. 〔变式训练 ３〕 　 一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产 品ꎬ月固定成本为 １ 万元ꎬ设此工厂一个月内生产该 特殊产品 ｘ 万件并全部销售完. 根据当地政府要求 产量 ｘ 满足 １≤ｘ≤３ꎬ每生产 ｘ 万件需要再投入 ３ｘ 万元ꎬ每 １ 万件的销售收入为 ５ － １３ ｘ ２(万元)ꎬ且每 生产 １ 万件产品政府给予补助 １ ＋ ２ｌｎ ｘｘ (万元)(注: 月利润 ＝月销售收入 ＋月政府补助 －月总成本) . (１)写出月利润 ｆ(ｘ)(万元)关于月产量 ｘ(万件)的 函数解析式ꎻ (２)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利 润最大值(万元)及此时的月生产量(万件) . 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[１８] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三讲　 导数的综合应用 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 利用导数证明不等式 若证明 ｆ( ｘ) < ｇ( ｘ)ꎬｘ∈( ａꎬｂ)ꎬ可以构造函数 Ｆ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) － ｇ(ｘ)ꎬ如果能证明 Ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)上的最 大值小于 ０ꎬ即可证明ｆ(ｘ) < ｇ(ｘ)ꎬｘ∈(ａꎬｂ) . 　 　 知识点二　 利用导数解决不等式的恒成立问题 “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题ꎬ一般 都可通过求相关函数的最值来解决ꎬ如:当 ｆ(ｘ)在 ｘ∈ Ｄ 上存在最大值和最小值时ꎬ若 ｆ(ｘ)≥ｇ(ａ)对于 ｘ∈Ｄ 恒成立ꎬ应求ｆ(ｘ)在 ｘ∈Ｄ 上的最小值ꎬ将原条件转化 为 ｇ(ａ)≤ｆ(ｘ)ｍｉｎꎻ若 ｆ(ｘ)≤ｇ(ａ)对于 ｘ∈Ｄ 恒成立ꎬ 应求 ｆ(ｘ)在 ｘ∈Ｄ 上的最大值ꎬ将原条件转化为 ｇ(ａ) ≥ｆ(ｘ)ｍａｘꎻ若存在 ｘ∈Ｄꎬ使得 ｆ( ｘ)≥ｇ(ａ)成立ꎬ应求 ｆ(ｘ)在 ｘ∈Ｄ 上的最大值ꎬ将原条件转化为 ｇ(ａ) ≤ ｆ(ｘ)ｍａｘꎻ若存在 ｘ∈Ｄꎬ使得 ｆ(ｘ)≤ｇ(ａ)成立ꎬ应求ｆ(ｘ) 在 ｘ∈Ｄ 上的最小值ꎬ将原条件转化为 ｇ(ａ)≥ｆ(ｘ)ｍｉｎ . 　 　 知识点三　 利用导数研究函数零点的方法 方法一:(１)求函数 ｆ(ｘ)的单调区间和极值. (２)根据函数 ｆ(ｘ)的性质作出图象. (３)判断函数零点的个数. 方法二:(１)求函数 ｆ(ｘ)的单调区间和极值. (２)分类讨论ꎬ判断函数零点的个数. 归 纳 拓 展 １. 若 ｘ∈ ０ꎬπ２ æ è ç ö ø ÷ꎬ则 ｔａｎ ｘ > ｘ > ｓｉｎ ｘ. ２. 若 ｘ∈(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ则 ｅｘ≥ｘ ＋ １ > ｘ － １≥ｌｎ ｘ. ３. 若 ｘ∈( －１ꎬ ＋ ∞ )ꎬ则 ｘ≥ｌｎ(ｘ ＋ １)≥ ｘｘ ＋ １. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)函数 ｙ ＝ ｘ － ｓｉｎ ｘ 有无数多个零点. ( 　 ) (２)函数 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ － ｘ 在 － π２ ꎬ π ２ æ è ç ö ø ÷内有三个零点. ( 　 ) (３)不等式 ｅｘ > ｌｎ(ｘ ＋ ２)恒成立. ( 　 ) (４)不等式 １ｅ æ è ç ö ø ÷ ｘ ≤１ － ｘ 恒成立. ( 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０７２ 高考一轮总复习·数学 题组二　 走进教材 ２. (选修 ２Ｐ９９Ｔ１３ 改编)若函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘｌｎ ｘ － ａ 有两个 零点ꎬ则实数 ａ 的取值范围为 ( 　 ) Ａ. － １ｅ ꎬ１ æ è ç ö ø ÷ Ｂ. １ｅ ꎬ１ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. － １ｅ ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｄ